Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8815 / 25807
↖ ↑ ↗
← S 71.353554°
W 83.155517°		 ← 390.57 m → S 71.353554°
W 83.144532°		 →
↑
390.61 m
↓
↑
390.61 m
↓
S 71.357067°
W 83.155517°		 ← 390.50 m →
152 546 m²		 S 71.357067°
W 83.144532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269027709960938 y=0.787582397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269027709960938 × 215)
    floor (0.269027709960938 × 32768)
    floor (8815.5)     		tx = 8815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787582397460938 × 215)
    floor (0.787582397460938 × 32768)
    floor (25807.5)     		ty = 25807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8815 / 25807 ti = "15/8815/25807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8815/25807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8815 ÷ 215
    8815 ÷ 32768     		x = 0.269012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25807 ÷ 215
    25807 ÷ 32768     		y = 0.787567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.46197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45133757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.57513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80683762047916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45133757} λ = -1.45133757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80683762047916))-π/2
    2×atan(0.164172492480129)-π/2
    2×0.162720936183098-π/2
    0.325441872366195-1.57079632675     		φ = -1.24535445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45133757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.155517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24535445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.353554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8815 KachelY 25807 -1.45133757 -1.24535445 -83.155517 -71.353554
    Oben rechts KachelX + 1 8816 KachelY 25807 -1.45114583 -1.24535445 -83.144532 -71.353554
    Unten links KachelX 8815 KachelY + 1 25808 -1.45133757 -1.24541576 -83.155517 -71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 8816 KachelY + 1 25808 -1.45114583 -1.24541576 -83.144532 -71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24535445--1.24541576) × R
    6.13099999999811e-05 × 6371000     		dl = 390.60600999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24535445--1.24541576) × R
    6.13099999999811e-05 × 6371000     		dr = 390.60600999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45133757--1.45114583) × cos(-1.24535445) × R
    0.000191739999999996 × 0.319727499535709 × 6371000     		do = 390.571292898175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45133757--1.45114583) × cos(-1.24541576) × R
    0.000191739999999996 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 390.500328630205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24535445)-sin(-1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319727499535709-0.31966940712501)×R²
    abs(-1.45114583--1.45133757)×5.8092410699373e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8092410699373e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8092410699373e-05×40589641000000     		ar = 152545.634852063m²