Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8814 / 6741
↖ ↑ ↗
← N 80.570847°
W131.583252°		 ← 100.07 m → N 80.570847°
W131.577759°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 80.569947°
W131.583252°		 ← 100.08 m →
10 017 m²		 N 80.569947°
W131.577759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134498596191406 y=0.102867126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134498596191406 × 216)
    floor (0.134498596191406 × 65536)
    floor (8814.5)     		tx = 8814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102867126464844 × 216)
    floor (0.102867126464844 × 65536)
    floor (6741.5)     		ty = 6741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8814 / 6741 ti = "16/8814/6741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8814/6741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8814 ÷ 216
    8814 ÷ 65536     		x = 0.134490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6741 ÷ 216
    6741 ÷ 65536     		y = 0.102859497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.73101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29656099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102859497070312 × 2 - 1) × π
    0.794281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4953073728224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29656099} λ = -2.29656099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4953073728224))-π/2
    2×atan(12.125459982711)-π/2
    2×1.48851144456632-π/2
    2.97702288913264-1.57079632675     		φ = 1.40622656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29656099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.583252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40622656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.570847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8814 KachelY 6741 -2.29656099 1.40622656 -131.583252 80.570847
    Oben rechts KachelX + 1 8815 KachelY 6741 -2.29646511 1.40622656 -131.577759 80.570847
    Unten links KachelX 8814 KachelY + 1 6742 -2.29656099 1.40621085 -131.583252 80.569947
    Unten rechts KachelX + 1 8815 KachelY + 1 6742 -2.29646511 1.40621085 -131.577759 80.569947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40622656-1.40621085) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40622656-1.40621085) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29656099--2.29646511) × cos(1.40622656) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163827925871377 × 6371000     		do = 100.074530983795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29656099--2.29646511) × cos(1.40621085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163843423592263 × 6371000     		du = 100.083997789535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40622656)-sin(1.40621085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163827925871377-0.163843423592263)×R²
    abs(-2.29646511--2.29656099)×1.54977208864371e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54977208864371e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54977208864371e-05×40589641000000     		ar = 10016.7744468712m²