Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8814 / 25808
↖ ↑ ↗
← S 71.357067°
W 83.166504°		 ← 390.52 m → S 71.357067°
W 83.155517°		 →
↑
390.48 m
↓
↑
390.48 m
↓
S 71.360578°
W 83.166504°		 ← 390.45 m →
152 476 m²		 S 71.360578°
W 83.155517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268997192382812 y=0.787612915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268997192382812 × 215)
    floor (0.268997192382812 × 32768)
    floor (8814.5)     		tx = 8814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787612915039062 × 215)
    floor (0.787612915039062 × 32768)
    floor (25808.5)     		ty = 25808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8814 / 25808 ti = "15/8814/25808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8814/25808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8814 ÷ 215
    8814 ÷ 32768     		x = 0.26898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25808 ÷ 215
    25808 ÷ 32768     		y = 0.78759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45152932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80702936807764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45152932} λ = -1.45152932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80702936807764))-π/2
    2×atan(0.164141015816843)-π/2
    2×0.162690285477853-π/2
    0.325380570955705-1.57079632675     		φ = -1.24541576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45152932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.166504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24541576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.357067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8814 KachelY 25808 -1.45152932 -1.24541576 -83.166504 -71.357067
    Oben rechts KachelX + 1 8815 KachelY 25808 -1.45133757 -1.24541576 -83.155517 -71.357067
    Unten links KachelX 8814 KachelY + 1 25809 -1.45152932 -1.24547705 -83.166504 -71.360578
    Unten rechts KachelX + 1 8815 KachelY + 1 25809 -1.45133757 -1.24547705 -83.155517 -71.360578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24541576--1.24547705) × R
    6.12900000001027e-05 × 6371000     		dl = 390.478590000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24541576--1.24547705) × R
    6.12900000001027e-05 × 6371000     		dr = 390.478590000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45152932--1.45133757) × cos(-1.24541576) × R
    0.000191749999999935 × 0.31966940712501 × 6371000     		do = 390.520694768009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45152932--1.45133757) × cos(-1.24547705) × R
    0.000191749999999935 × 0.319611332463675 × 6371000     		du = 390.449748482292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24541576)-sin(-1.24547705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31966940712501-0.319611332463675)×R²
    abs(-1.45133757--1.45152932)×5.80746613353389e-05×R²
    0.000191749999999935×5.80746613353389e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.80746613353389e-05×40589641000000     		ar = 152476.11880392m²