Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8813 / 11907
↖ ↑ ↗
← S 62.945230°
E 13.645020°		 ← 1 111.28 m → S 62.945230°
E 13.666992°		 →
↑
1 111.10 m
↓
↑
1 111.10 m
↓
S 62.955223°
E 13.645020°		 ← 1 110.90 m →
1 234 531 m²		 S 62.955223°
E 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537933349609375 y=0.726776123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537933349609375 × 214)
    floor (0.537933349609375 × 16384)
    floor (8813.5)     		tx = 8813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726776123046875 × 214)
    floor (0.726776123046875 × 16384)
    floor (11907.5)     		ty = 11907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8813 / 11907 ti = "14/8813/11907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8813/11907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8813 ÷ 214
    8813 ÷ 16384     		x = 0.53790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11907 ÷ 214
    11907 ÷ 16384     		y = 0.72674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53790283203125 × 2 - 1) × π
    0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23815052} λ = 0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42468465670807))-π/2
    2×atan(0.240584317898373)-π/2
    2×0.236097401645098-π/2
    0.472194803290195-1.57079632675     		φ = -1.09860152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09860152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.945230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8813 KachelY 11907 0.23815052 -1.09860152 13.645020 -62.945230
    Oben rechts KachelX + 1 8814 KachelY 11907 0.23853401 -1.09860152 13.666992 -62.945230
    Unten links KachelX 8813 KachelY + 1 11908 0.23815052 -1.09877592 13.645020 -62.955223
    Unten rechts KachelX + 1 8814 KachelY + 1 11908 0.23853401 -1.09877592 13.666992 -62.955223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09860152--1.09877592) × R
    0.000174399999999908 × 6371000     		dl = 1111.10239999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09860152--1.09877592) × R
    0.000174399999999908 × 6371000     		dr = 1111.10239999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23815052-0.23853401) × cos(-1.09860152) × R
    0.000383489999999986 × 0.454842013128825 × 6371000     		do = 1111.27673358968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23815052-0.23853401) × cos(-1.09877592) × R
    0.000383489999999986 × 0.454686690430664 × 6371000     		du = 1110.89724687631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09860152)-sin(-1.09877592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454842013128825-0.454686690430664)×R²
    abs(0.23853401-0.23815052)×0.000155322698161597×R²
    0.000383489999999986×0.000155322698161597×6371000²
    0.000383489999999986×0.000155322698161597×40589641000000     		ar = 1234531.42458535m²