Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8812 / 25788
↖ ↑ ↗
← S 71.286699°
W 83.188477°		 ← 391.94 m → S 71.286699°
W 83.177490°		 →
↑
391.88 m
↓
↑
391.88 m
↓
S 71.290223°
W 83.188477°		 ← 391.87 m →
153 580 m²		 S 71.290223°
W 83.177490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268936157226562 y=0.787002563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268936157226562 × 215)
    floor (0.268936157226562 × 32768)
    floor (8812.5)     		tx = 8812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787002563476562 × 215)
    floor (0.787002563476562 × 32768)
    floor (25788.5)     		ty = 25788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8812 / 25788 ti = "15/8812/25788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8812/25788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8812 ÷ 215
    8812 ÷ 32768     		x = 0.2689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25788 ÷ 215
    25788 ÷ 32768     		y = 0.7869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45191282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.573974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80319441610803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45191282} λ = -1.45191282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80319441610803))-π/2
    2×atan(0.164771697272343)-π/2
    2×0.16330435875487-π/2
    0.32660871750974-1.57079632675     		φ = -1.24418761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45191282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24418761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.286699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8812 KachelY 25788 -1.45191282 -1.24418761 -83.188477 -71.286699
    Oben rechts KachelX + 1 8813 KachelY 25788 -1.45172107 -1.24418761 -83.177490 -71.286699
    Unten links KachelX 8812 KachelY + 1 25789 -1.45191282 -1.24424912 -83.188477 -71.290223
    Unten rechts KachelX + 1 8813 KachelY + 1 25789 -1.45172107 -1.24424912 -83.177490 -71.290223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24418761--1.24424912) × R
    6.15100000000979e-05 × 6371000     		dl = 391.880210000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24418761--1.24424912) × R
    6.15100000000979e-05 × 6371000     		dr = 391.880210000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45191282--1.45172107) × cos(-1.24418761) × R
    0.000191749999999935 × 0.320832873658073 × 6371000     		do = 391.942031150861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45191282--1.45172107) × cos(-1.24424912) × R
    0.000191749999999935 × 0.320774614726706 × 6371000     		du = 391.870859753639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24418761)-sin(-1.24424912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320832873658073-0.320774614726706)×R²
    abs(-1.45172107--1.45191282)×5.82589313675164e-05×R²
    0.000191749999999935×5.82589313675164e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.82589313675164e-05×40589641000000     		ar = 153580.380193144m²