Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8810 / 25782
↖ ↑ ↗
← S 71.265539°
W 83.210449°		 ← 392.37 m → S 71.265539°
W 83.199463°		 →
↑
392.33 m
↓
↑
392.33 m
↓
S 71.269067°
W 83.210449°		 ← 392.30 m →
153 923 m²		 S 71.269067°
W 83.199463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268875122070312 y=0.786819458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268875122070312 × 215)
    floor (0.268875122070312 × 32768)
    floor (8810.5)     		tx = 8810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786819458007812 × 215)
    floor (0.786819458007812 × 32768)
    floor (25782.5)     		ty = 25782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8810 / 25782 ti = "15/8810/25782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8810/25782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8810 ÷ 215
    8810 ÷ 32768     		x = 0.26885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25782 ÷ 215
    25782 ÷ 32768     		y = 0.78680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.4622802734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45229631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80204393051715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45229631} λ = -1.45229631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80204393051715))-π/2
    2×atan(0.164961373824988)-π/2
    2×0.163489016139354-π/2
    0.326978032278707-1.57079632675     		φ = -1.24381829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45229631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.210449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24381829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.265539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8810 KachelY 25782 -1.45229631 -1.24381829 -83.210449 -71.265539
    Oben rechts KachelX + 1 8811 KachelY 25782 -1.45210456 -1.24381829 -83.199463 -71.265539
    Unten links KachelX 8810 KachelY + 1 25783 -1.45229631 -1.24387987 -83.210449 -71.269067
    Unten rechts KachelX + 1 8811 KachelY + 1 25783 -1.45210456 -1.24387987 -83.199463 -71.269067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24381829--1.24387987) × R
    6.15799999998945e-05 × 6371000     		dl = 392.326179999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24381829--1.24387987) × R
    6.15799999998945e-05 × 6371000     		dr = 392.326179999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45229631--1.45210456) × cos(-1.24381829) × R
    0.000191749999999935 × 0.321182647971903 × 6371000     		do = 392.369329181277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45229631--1.45210456) × cos(-1.24387987) × R
    0.000191749999999935 × 0.321124330039575 × 6371000     		du = 392.298085706166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24381829)-sin(-1.24387987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321182647971903-0.321124330039575)×R²
    abs(-1.45210456--1.45229631)×5.83179323286886e-05×R²
    0.000191749999999935×5.83179323286886e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.83179323286886e-05×40589641000000     		ar = 153922.78477555m²