Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 881 / 1363
↖ ↑ ↗
← S 51.069017°
W 25.136719°		 ← 12.282 km → S 51.069017°
W 24.960937°		 →
↑
12.268 km
↓
↑
12.268 km
↓
S 51.179343°
W 25.136719°		 ← 12.253 km →
150.497 km²		 S 51.179343°
W 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430419921875 y=0.665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430419921875 × 211)
    floor (0.430419921875 × 2048)
    floor (881.5)     		tx = 881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665771484375 × 211)
    floor (0.665771484375 × 2048)
    floor (1363.5)     		ty = 1363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 881 / 1363 ti = "11/881/1363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/881/1363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 881 ÷ 211
    881 ÷ 2048     		x = 0.43017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1363 ÷ 211
    1363 ÷ 2048     		y = 0.66552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43871851} λ = -0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04003897415674))-π/2
    2×atan(0.353440906629048)-π/2
    2×0.339736920173826-π/2
    0.679473840347652-1.57079632675     		φ = -0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 881 KachelY 1363 -0.43871851 -0.89132249 -25.136719 -51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 882 KachelY 1363 -0.43565054 -0.89132249 -24.960937 -51.069017
    Unten links KachelX 881 KachelY + 1 1364 -0.43871851 -0.89324804 -25.136719 -51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 882 KachelY + 1 1364 -0.43565054 -0.89324804 -24.960937 -51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89132249--0.89324804) × R
    0.00192555000000005 × 6371000     		dl = 12267.6790500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89132249--0.89324804) × R
    0.00192555000000005 × 6371000     		dr = 12267.6790500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43871851--0.43565054) × cos(-0.89132249) × R
    0.00306797000000003 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 12282.413057074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43871851--0.43565054) × cos(-0.89324804) × R
    0.00306797000000003 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 12253.1124527983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89132249)-sin(-0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.626884750821521)×R²
    abs(-0.43565054--0.43871851)×0.00149905602197187×R²
    0.00306797000000003×0.00149905602197187×6371000²
    0.00306797000000003×0.00149905602197187×40589641000000     		ar = 150497022.639458m²