Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 881 / 1175
↖ ↑ ↗
← N 60.630102°
W102.568359°		 ← 4 793.12 m → N 60.630102°
W102.480469°		 →
↑
4 796.34 m
↓
↑
4 796.34 m
↓
N 60.586967°
W102.568359°		 ← 4 799.53 m →
23 004 834 m²		 N 60.586967°
W102.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2152099609375 y=0.2869873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2152099609375 × 212)
    floor (0.2152099609375 × 4096)
    floor (881.5)     		tx = 881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2869873046875 × 212)
    floor (0.2869873046875 × 4096)
    floor (1175.5)     		ty = 1175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 881 / 1175 ti = "12/881/1175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/881/1175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 881 ÷ 212
    881 ÷ 4096     		x = 0.215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1175 ÷ 212
    1175 ÷ 4096     		y = 0.286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.56982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.79015558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286865234375 × 2 - 1) × π
    0.42626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33916522778589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79015558} λ = -1.79015558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33916522778589))-π/2
    2×atan(3.81585680423341)-π/2
    2×1.31449561420835-π/2
    2.62899122841671-1.57079632675     		φ = 1.05819490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79015558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05819490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.630102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 881 KachelY 1175 -1.79015558 1.05819490 -102.568359 60.630102
    Oben rechts KachelX + 1 882 KachelY 1175 -1.78862160 1.05819490 -102.480469 60.630102
    Unten links KachelX 881 KachelY + 1 1176 -1.79015558 1.05744206 -102.568359 60.586967
    Unten rechts KachelX + 1 882 KachelY + 1 1176 -1.78862160 1.05744206 -102.480469 60.586967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05819490-1.05744206) × R
    0.000752839999999866 × 6371000     		dl = 4796.34363999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05819490-1.05744206) × R
    0.000752839999999866 × 6371000     		dr = 4796.34363999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79015558--1.78862160) × cos(1.05819490) × R
    0.00153398000000005 × 0.490445973419791 × 6371000     		do = 4793.1219164468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79015558--1.78862160) × cos(1.05744206) × R
    0.00153398000000005 × 0.491101913051552 × 6371000     		du = 4799.53240566529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05819490)-sin(1.05744206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490445973419791-0.491101913051552)×R²
    abs(-1.78862160--1.79015558)×0.000655939631760249×R²
    0.00153398000000005×0.000655939631760249×6371000²
    0.00153398000000005×0.000655939631760249×40589641000000     		ar = 23004834.3608226m²