Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8808 / 11916
↖ ↑ ↗
← S 63.035039°
E 13.535156°		 ← 1 107.89 m → S 63.035039°
E 13.557129°		 →
↑
1 107.66 m
↓
↑
1 107.66 m
↓
S 63.045001°
E 13.535156°		 ← 1 107.52 m →
1 226 962 m²		 S 63.045001°
E 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537628173828125 y=0.727325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537628173828125 × 214)
    floor (0.537628173828125 × 16384)
    floor (8808.5)     		tx = 8808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727325439453125 × 214)
    floor (0.727325439453125 × 16384)
    floor (11916.5)     		ty = 11916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8808 / 11916 ti = "14/8808/11916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8808/11916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8808 ÷ 214
    8808 ÷ 16384     		x = 0.53759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11916 ÷ 214
    11916 ÷ 16384     		y = 0.727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53759765625 × 2 - 1) × π
    0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.45458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42813611348071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23623304} λ = 0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42813611348071))-π/2
    2×atan(0.239755382864583)-π/2
    2×0.235313673316669-π/2
    0.470627346633339-1.57079632675     		φ = -1.10016898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10016898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.035039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8808 KachelY 11916 0.23623304 -1.10016898 13.535156 -63.035039
    Oben rechts KachelX + 1 8809 KachelY 11916 0.23661654 -1.10016898 13.557129 -63.035039
    Unten links KachelX 8808 KachelY + 1 11917 0.23623304 -1.10034284 13.535156 -63.045001
    Unten rechts KachelX + 1 8809 KachelY + 1 11917 0.23661654 -1.10034284 13.557129 -63.045001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10016898--1.10034284) × R
    0.000173859999999859 × 6371000     		dl = 1107.6620599991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10016898--1.10034284) × R
    0.000173859999999859 × 6371000     		dr = 1107.6620599991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23623304-0.23661654) × cos(-1.10016898) × R
    0.000383499999999981 × 0.453445518730545 × 6371000     		do = 1107.89368683563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23623304-0.23661654) × cos(-1.10034284) × R
    0.000383499999999981 × 0.453290553242562 × 6371000     		du = 1107.5150629906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10016898)-sin(-1.10034284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453445518730545-0.453290553242562)×R²
    abs(0.23661654-0.23623304)×0.000154965487982217×R²
    0.000383499999999981×0.000154965487982217×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154965487982217×40589641000000     		ar = 1226962.11287749m²