Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8807 / 11912
↖ ↑ ↗
← S 62.995159°
E 13.513184°		 ← 1 109.38 m → S 62.995159°
E 13.535156°		 →
↑
1 109.19 m
↓
↑
1 109.19 m
↓
S 63.005134°
E 13.513184°		 ← 1 109 m →
1 230 305 m²		 S 63.005134°
E 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537567138671875 y=0.727081298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537567138671875 × 214)
    floor (0.537567138671875 × 16384)
    floor (8807.5)     		tx = 8807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727081298828125 × 214)
    floor (0.727081298828125 × 16384)
    floor (11912.5)     		ty = 11912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8807 / 11912 ti = "14/8807/11912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8807/11912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8807 ÷ 214
    8807 ÷ 16384     		x = 0.53753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11912 ÷ 214
    11912 ÷ 16384     		y = 0.72705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53753662109375 × 2 - 1) × π
    0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23584955} λ = 0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42660213269287))-π/2
    2×atan(0.240123445243814)-π/2
    2×0.235661699504187-π/2
    0.471323399008374-1.57079632675     		φ = -1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8807 KachelY 11912 0.23584955 -1.09947293 13.513184 -62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 8808 KachelY 11912 0.23623304 -1.09947293 13.535156 -62.995159
    Unten links KachelX 8807 KachelY + 1 11913 0.23584955 -1.09964703 13.513184 -63.005134
    Unten rechts KachelX + 1 8808 KachelY + 1 11913 0.23623304 -1.09964703 13.535156 -63.005134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09947293--1.09964703) × R
    0.000174100000000177 × 6371000     		dl = 1109.19110000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09947293--1.09964703) × R
    0.000174100000000177 × 6371000     		dr = 1109.19110000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23584955-0.23623304) × cos(-1.09947293) × R
    0.000383490000000014 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 1109.38024658282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23584955-0.23623304) × cos(-1.09964703) × R
    0.000383490000000014 × 0.45391066262465 × 6371000     		du = 1109.00124426329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09947293)-sin(-1.09964703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.45391066262465)×R²
    abs(0.23623304-0.23584955)×0.00015512443731458×R²
    0.000383490000000014×0.00015512443731458×6371000²
    0.000383490000000014×0.00015512443731458×40589641000000     		ar = 1230304.50613317m²