Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8806 / 11938
↖ ↑ ↗
← S 63.253411°
E 13.491211°		 ← 1 099.59 m → S 63.253411°
E 13.513184°		 →
↑
1 099.44 m
↓
↑
1 099.44 m
↓
S 63.263299°
E 13.491211°		 ← 1 099.21 m →
1 208 726 m²		 S 63.263299°
E 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537506103515625 y=0.728668212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537506103515625 × 214)
    floor (0.537506103515625 × 16384)
    floor (8806.5)     		tx = 8806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728668212890625 × 214)
    floor (0.728668212890625 × 16384)
    floor (11938.5)     		ty = 11938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8806 / 11938 ti = "14/8806/11938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8806/11938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8806 ÷ 214
    8806 ÷ 16384     		x = 0.5374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11938 ÷ 214
    11938 ÷ 16384     		y = 0.7286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5374755859375 × 2 - 1) × π
    0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43657300781384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23546605} λ = 0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43657300781384))-π/2
    2×atan(0.237741101122894)-π/2
    2×0.233408015929294-π/2
    0.466816031858589-1.57079632675     		φ = -1.10398029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10398029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.253411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8806 KachelY 11938 0.23546605 -1.10398029 13.491211 -63.253411
    Oben rechts KachelX + 1 8807 KachelY 11938 0.23584955 -1.10398029 13.513184 -63.253411
    Unten links KachelX 8806 KachelY + 1 11939 0.23546605 -1.10415286 13.491211 -63.263299
    Unten rechts KachelX + 1 8807 KachelY + 1 11939 0.23584955 -1.10415286 13.513184 -63.263299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10398029--1.10415286) × R
    0.000172569999999928 × 6371000     		dl = 1099.44346999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10398029--1.10415286) × R
    0.000172569999999928 × 6371000     		dr = 1099.44346999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23546605-0.23584955) × cos(-1.10398029) × R
    0.000383499999999981 × 0.450045273957952 × 6371000     		do = 1099.58594188802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23546605-0.23584955) × cos(-1.10415286) × R
    0.000383499999999981 × 0.449891161256927 × 6371000     		du = 1099.20940163903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10398029)-sin(-1.10415286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450045273957952-0.449891161256927)×R²
    abs(0.23584955-0.23546605)×0.000154112701024556×R²
    0.000383499999999981×0.000154112701024556×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154112701024556×40589641000000     		ar = 1208725.59415413m²