Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8804 / 11936
↖ ↑ ↗
← S 63.233628°
E 13.447266°		 ← 1 100.34 m → S 63.233628°
E 13.469239°		 →
↑
1 100.14 m
↓
↑
1 100.14 m
↓
S 63.243521°
E 13.447266°		 ← 1 099.96 m →
1 210 325 m²		 S 63.243521°
E 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537384033203125 y=0.728546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537384033203125 × 214)
    floor (0.537384033203125 × 16384)
    floor (8804.5)     		tx = 8804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728546142578125 × 214)
    floor (0.728546142578125 × 16384)
    floor (11936.5)     		ty = 11936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8804 / 11936 ti = "14/8804/11936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8804/11936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8804 ÷ 214
    8804 ÷ 16384     		x = 0.537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11936 ÷ 214
    11936 ÷ 16384     		y = 0.728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537353515625 × 2 - 1) × π
    0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728515625 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23469906} λ = 0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43580601741992))-π/2
    2×atan(0.237923516210063)-π/2
    2×0.233580665244477-π/2
    0.467161330488953-1.57079632675     		φ = -1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8804 KachelY 11936 0.23469906 -1.10363500 13.447266 -63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 8805 KachelY 11936 0.23508256 -1.10363500 13.469239 -63.233628
    Unten links KachelX 8804 KachelY + 1 11937 0.23469906 -1.10380768 13.447266 -63.243521
    Unten rechts KachelX + 1 8805 KachelY + 1 11937 0.23508256 -1.10380768 13.469239 -63.243521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10363500--1.10380768) × R
    0.000172680000000147 × 6371000     		dl = 1100.14428000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10363500--1.10380768) × R
    0.000172680000000147 × 6371000     		dr = 1100.14428000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23469906-0.23508256) × cos(-1.10363500) × R
    0.000383500000000009 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 1100.33925135882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23469906-0.23508256) × cos(-1.10380768) × R
    0.000383500000000009 × 0.450199408973568 × 6371000     		du = 1099.96253665785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10363500)-sin(-1.10380768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.450199408973568)×R²
    abs(0.23508256-0.23469906)×0.00015418410180118×R²
    0.000383500000000009×0.00015418410180118×6371000²
    0.000383500000000009×0.00015418410180118×40589641000000     		ar = 1210324.71618879m²