Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8803 / 11918
↖ ↑ ↗
← S 63.054959°
E 13.425293°		 ← 1 107.11 m → S 63.054959°
E 13.447266°		 →
↑
1 106.96 m
↓
↑
1 106.96 m
↓
S 63.064914°
E 13.425293°		 ← 1 106.73 m →
1 225 316 m²		 S 63.064914°
E 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537322998046875 y=0.727447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537322998046875 × 214)
    floor (0.537322998046875 × 16384)
    floor (8803.5)     		tx = 8803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727447509765625 × 214)
    floor (0.727447509765625 × 16384)
    floor (11918.5)     		ty = 11918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8803 / 11918 ti = "14/8803/11918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8803/11918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8803 ÷ 214
    8803 ÷ 16384     		x = 0.53729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11918 ÷ 214
    11918 ÷ 16384     		y = 0.7274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53729248046875 × 2 - 1) × π
    0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42890310387463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23431557} λ = 0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42890310387463))-π/2
    2×atan(0.23957156329197)-π/2
    2×0.235139838565744-π/2
    0.470279677131488-1.57079632675     		φ = -1.10051665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10051665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.054959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8803 KachelY 11918 0.23431557 -1.10051665 13.425293 -63.054959
    Oben rechts KachelX + 1 8804 KachelY 11918 0.23469906 -1.10051665 13.447266 -63.054959
    Unten links KachelX 8803 KachelY + 1 11919 0.23431557 -1.10069040 13.425293 -63.064914
    Unten rechts KachelX + 1 8804 KachelY + 1 11919 0.23469906 -1.10069040 13.447266 -63.064914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10051665--1.10069040) × R
    0.000173749999999862 × 6371000     		dl = 1106.96124999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10051665--1.10069040) × R
    0.000173749999999862 × 6371000     		dr = 1106.96124999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23431557-0.23469906) × cos(-1.10051665) × R
    0.000383489999999986 × 0.453135618624911 × 6371000     		do = 1107.10764530014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23431557-0.23469906) × cos(-1.10069040) × R
    0.000383489999999986 × 0.45298072380929 × 6371000     		du = 1106.72920399572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10051665)-sin(-1.10069040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453135618624911-0.45298072380929)×R²
    abs(0.23469906-0.23431557)×0.000154894815620976×R²
    0.000383489999999986×0.000154894815620976×6371000²
    0.000383489999999986×0.000154894815620976×40589641000000     		ar = 1225315.80607759m²