Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8798 / 11942
↖ ↑ ↗
← S 63.292939°
E 13.315430°		 ← 1 098.05 m → S 63.292939°
E 13.337402°		 →
↑
1 097.91 m
↓
↑
1 097.91 m
↓
S 63.302813°
E 13.315430°		 ← 1 097.68 m →
1 205 360 m²		 S 63.302813°
E 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537017822265625 y=0.728912353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537017822265625 × 214)
    floor (0.537017822265625 × 16384)
    floor (8798.5)     		tx = 8798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728912353515625 × 214)
    floor (0.728912353515625 × 16384)
    floor (11942.5)     		ty = 11942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8798 / 11942 ti = "14/8798/11942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8798/11942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8798 ÷ 214
    8798 ÷ 16384     		x = 0.5369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11942 ÷ 214
    11942 ÷ 16384     		y = 0.7288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5369873046875 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23239809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23239809} λ = 0.23239809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43810698860168))-π/2
    2×atan(0.237376690412264)-π/2
    2×0.233063071873488-π/2
    0.466126143746977-1.57079632675     		φ = -1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23239809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8798 KachelY 11942 0.23239809 -1.10467018 13.315430 -63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 8799 KachelY 11942 0.23278158 -1.10467018 13.337402 -63.292939
    Unten links KachelX 8798 KachelY + 1 11943 0.23239809 -1.10484251 13.315430 -63.302813
    Unten rechts KachelX + 1 8799 KachelY + 1 11943 0.23278158 -1.10484251 13.337402 -63.302813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10467018--1.10484251) × R
    0.000172330000000054 × 6371000     		dl = 1097.91443000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10467018--1.10484251) × R
    0.000172330000000054 × 6371000     		dr = 1097.91443000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23239809-0.23278158) × cos(-1.10467018) × R
    0.000383489999999986 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 1098.05180262193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23239809-0.23278158) × cos(-1.10484251) × R
    0.000383489999999986 × 0.449275139357281 × 6371000     		du = 1097.67566525698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10467018)-sin(-1.10484251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449275139357281)×R²
    abs(0.23278158-0.23239809)×0.000153951820564713×R²
    0.000383489999999986×0.000153951820564713×6371000²
    0.000383489999999986×0.000153951820564713×40589641000000     		ar = 1205360.43864824m²