Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8794 / 5605
↖ ↑ ↗
← N 75.571256°
W 83.386230°		 ← 304.40 m → N 75.571256°
W 83.375244°		 →
↑
304.41 m
↓
↑
304.41 m
↓
N 75.568519°
W 83.386230°		 ← 304.46 m →
92 671 m²		 N 75.568519°
W 83.375244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268386840820312 y=0.171066284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268386840820312 × 215)
    floor (0.268386840820312 × 32768)
    floor (8794.5)     		tx = 8794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171066284179688 × 215)
    floor (0.171066284179688 × 32768)
    floor (5605.5)     		ty = 5605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8794 / 5605 ti = "15/8794/5605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8794/5605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8794 ÷ 215
    8794 ÷ 32768     		x = 0.26837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5605 ÷ 215
    5605 ÷ 32768     		y = 0.171051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.4632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45536427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171051025390625 × 2 - 1) × π
    0.65789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06684736401834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45536427} λ = -1.45536427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06684736401834))-π/2
    2×atan(7.89987837684461)-π/2
    2×1.44488178303627-π/2
    2.88976356607253-1.57079632675     		φ = 1.31896724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45536427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.386230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31896724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.571256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8794 KachelY 5605 -1.45536427 1.31896724 -83.386230 75.571256
    Oben rechts KachelX + 1 8795 KachelY 5605 -1.45517252 1.31896724 -83.375244 75.571256
    Unten links KachelX 8794 KachelY + 1 5606 -1.45536427 1.31891946 -83.386230 75.568519
    Unten rechts KachelX + 1 8795 KachelY + 1 5606 -1.45517252 1.31891946 -83.375244 75.568519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31896724-1.31891946) × R
    4.77800000000528e-05 × 6371000     		dl = 304.406380000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31896724-1.31891946) × R
    4.77800000000528e-05 × 6371000     		dr = 304.406380000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45536427--1.45517252) × cos(1.31896724) × R
    0.000191749999999935 × 0.24917576933021 × 6371000     		do = 304.402899962628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45536427--1.45517252) × cos(1.31891946) × R
    0.000191749999999935 × 0.249222041982284 × 6371000     		du = 304.459428450603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31896724)-sin(1.31891946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24917576933021-0.249222041982284)×R²
    abs(-1.45517252--1.45536427)×4.62726520739365e-05×R²
    0.000191749999999935×4.62726520739365e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.62726520739365e-05×40589641000000     		ar = 92670.7886730919m²