Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8794 / 12008
↖ ↑ ↗
← S 63.937372°
E 13.227539°		 ← 1 073.43 m → S 63.937372°
E 13.249512°		 →
↑
1 073.32 m
↓
↑
1 073.32 m
↓
S 63.947025°
E 13.227539°		 ← 1 073.06 m →
1 151 943 m²		 S 63.947025°
E 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536773681640625 y=0.732940673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536773681640625 × 214)
    floor (0.536773681640625 × 16384)
    floor (8794.5)     		tx = 8794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732940673828125 × 214)
    floor (0.732940673828125 × 16384)
    floor (12008.5)     		ty = 12008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8794 / 12008 ti = "14/8794/12008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8794/12008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8794 ÷ 214
    8794 ÷ 16384     		x = 0.5367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12008 ÷ 214
    12008 ÷ 16384     		y = 0.73291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5367431640625 × 2 - 1) × π
    0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73291015625 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46341767160107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23086411} λ = 0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46341767160107))-π/2
    2×atan(0.231443922180533)-π/2
    2×0.227439331087094-π/2
    0.454878662174187-1.57079632675     		φ = -1.11591766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11591766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.937372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8794 KachelY 12008 0.23086411 -1.11591766 13.227539 -63.937372
    Oben rechts KachelX + 1 8795 KachelY 12008 0.23124760 -1.11591766 13.249512 -63.937372
    Unten links KachelX 8794 KachelY + 1 12009 0.23086411 -1.11608613 13.227539 -63.947025
    Unten rechts KachelX + 1 8795 KachelY + 1 12009 0.23124760 -1.11608613 13.249512 -63.947025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11591766--1.11608613) × R
    0.000168469999999976 × 6371000     		dl = 1073.32236999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11591766--1.11608613) × R
    0.000168469999999976 × 6371000     		dr = 1073.32236999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23086411-0.23124760) × cos(-1.11591766) × R
    0.000383489999999986 × 0.439353321681726 × 6371000     		do = 1073.43453356838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23086411-0.23124760) × cos(-1.11608613) × R
    0.000383489999999986 × 0.439201976430193 × 6371000     		du = 1073.06476461144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11591766)-sin(-1.11608613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439353321681726-0.439201976430193)×R²
    abs(0.23124760-0.23086411)×0.000151345251532709×R²
    0.000383489999999986×0.000151345251532709×6371000²
    0.000383489999999986×0.000151345251532709×40589641000000     		ar = 1151942.85968639m²