Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8790 / 12009
↖ ↑ ↗
← S 63.947025°
E 13.139649°		 ← 1 073.06 m → S 63.947025°
E 13.161621°		 →
↑
1 072.88 m
↓
↑
1 072.88 m
↓
S 63.956673°
E 13.139649°		 ← 1 072.70 m →
1 151 068 m²		 S 63.956673°
E 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536529541015625 y=0.733001708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536529541015625 × 214)
    floor (0.536529541015625 × 16384)
    floor (8790.5)     		tx = 8790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733001708984375 × 214)
    floor (0.733001708984375 × 16384)
    floor (12009.5)     		ty = 12009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8790 / 12009 ti = "14/8790/12009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8790/12009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8790 ÷ 214
    8790 ÷ 16384     		x = 0.5364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12009 ÷ 214
    12009 ÷ 16384     		y = 0.73297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5364990234375 × 2 - 1) × π
    0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.4659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46380116679803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22933013} λ = 0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46380116679803))-π/2
    2×atan(0.231355181564899)-π/2
    2×0.227355100653464-π/2
    0.454710201306929-1.57079632675     		φ = -1.11608613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11608613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.947025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8790 KachelY 12009 0.22933013 -1.11608613 13.139649 -63.947025
    Oben rechts KachelX + 1 8791 KachelY 12009 0.22971362 -1.11608613 13.161621 -63.947025
    Unten links KachelX 8790 KachelY + 1 12010 0.22933013 -1.11625453 13.139649 -63.956673
    Unten rechts KachelX + 1 8791 KachelY + 1 12010 0.22971362 -1.11625453 13.161621 -63.956673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11608613--1.11625453) × R
    0.000168399999999957 × 6371000     		dl = 1072.87639999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11608613--1.11625453) × R
    0.000168399999999957 × 6371000     		dr = 1072.87639999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22933013-0.22971362) × cos(-1.11608613) × R
    0.000383490000000014 × 0.439201976430193 × 6371000     		do = 1073.06476461152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22933013-0.22971362) × cos(-1.11625453) × R
    0.000383490000000014 × 0.43905068160553 × 6371000     		du = 1072.69511885825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11608613)-sin(-1.11625453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439201976430193-0.43905068160553)×R²
    abs(0.22971362-0.22933013)×0.000151294824663195×R²
    0.000383490000000014×0.000151294824663195×6371000²
    0.000383490000000014×0.000151294824663195×40589641000000     		ar = 1151067.57224115m²