Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 879 / 457
↖ ↑ ↗
← N 70.080562°
W 25.488281°		 ← 6 659.28 m → N 70.080562°
W 25.312500°		 →
↑
6 668.91 m
↓
↑
6 668.91 m
↓
N 70.020587°
W 25.488281°		 ← 6 678.52 m →
44 474 287 m²		 N 70.020587°
W 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429443359375 y=0.223388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429443359375 × 211)
    floor (0.429443359375 × 2048)
    floor (879.5)     		tx = 879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223388671875 × 211)
    floor (0.223388671875 × 2048)
    floor (457.5)     		ty = 457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 879 / 457 ti = "11/879/457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/879/457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 879 ÷ 211
    879 ÷ 2048     		x = 0.42919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 457 ÷ 211
    457 ÷ 2048     		y = 0.22314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22314453125 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44485443} λ = -0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7395342134126))-π/2
    2×atan(5.69469029446562)-π/2
    2×1.39696643904527-π/2
    2.79393287809054-1.57079632675     		φ = 1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 879 KachelY 457 -0.44485443 1.22313655 -25.488281 70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 880 KachelY 457 -0.44178647 1.22313655 -25.312500 70.080562
    Unten links KachelX 879 KachelY + 1 458 -0.44485443 1.22208979 -25.488281 70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 880 KachelY + 1 458 -0.44178647 1.22208979 -25.312500 70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22313655-1.22208979) × R
    0.00104675999999992 × 6371000     		dl = 6668.90795999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22313655-1.22208979) × R
    0.00104675999999992 × 6371000     		dr = 6668.90795999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44485443--0.44178647) × cos(1.22313655) × R
    0.00306796000000004 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 6659.28429717028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44485443--0.44178647) × cos(1.22208979) × R
    0.00306796000000004 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 6678.51652296952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22313655)-sin(1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.341682476912264)×R²
    abs(-0.44178647--0.44485443)×0.000983948235363297×R²
    0.00306796000000004×0.000983948235363297×6371000²
    0.00306796000000004×0.000983948235363297×40589641000000     		ar = 44474287.0900567m²