Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8788 / 25750
↖ ↑ ↗
← S 71.152295°
W 83.452149°		 ← 394.66 m → S 71.152295°
W 83.441162°		 →
↑
394.62 m
↓
↑
394.62 m
↓
S 71.155843°
W 83.452149°		 ← 394.58 m →
155 725 m²		 S 71.155843°
W 83.441162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268203735351562 y=0.785842895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268203735351562 × 215)
    floor (0.268203735351562 × 32768)
    floor (8788.5)     		tx = 8788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785842895507812 × 215)
    floor (0.785842895507812 × 32768)
    floor (25750.5)     		ty = 25750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8788 / 25750 ti = "15/8788/25750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8788/25750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8788 ÷ 215
    8788 ÷ 32768     		x = 0.2681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25750 ÷ 215
    25750 ÷ 32768     		y = 0.78582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45651476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78582763671875 × 2 - 1) × π
    -0.5716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79590800736578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45651476} λ = -1.45651476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79590800736578))-π/2
    2×atan(0.165976675859883)-π/2
    2×0.164477259983741-π/2
    0.328954519967483-1.57079632675     		φ = -1.24184181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45651476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.452149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24184181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.152295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8788 KachelY 25750 -1.45651476 -1.24184181 -83.452149 -71.152295
    Oben rechts KachelX + 1 8789 KachelY 25750 -1.45632301 -1.24184181 -83.441162 -71.152295
    Unten links KachelX 8788 KachelY + 1 25751 -1.45651476 -1.24190375 -83.452149 -71.155843
    Unten rechts KachelX + 1 8789 KachelY + 1 25751 -1.45632301 -1.24190375 -83.441162 -71.155843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24184181--1.24190375) × R
    6.19400000001491e-05 × 6371000     		dl = 394.61974000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24184181--1.24190375) × R
    6.19400000001491e-05 × 6371000     		dr = 394.61974000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45651476--1.45632301) × cos(-1.24184181) × R
    0.000191749999999935 × 0.323053780098383 × 6371000     		do = 394.65517762892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45651476--1.45632301) × cos(-1.24190375) × R
    0.000191749999999935 × 0.322995160663854 × 6371000     		du = 394.583565826887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24184181)-sin(-1.24190375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323053780098383-0.322995160663854)×R²
    abs(-1.45632301--1.45651476)×5.86194345292834e-05×R²
    0.000191749999999935×5.86194345292834e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.86194345292834e-05×40589641000000     		ar = 155724.593919981m²