Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8785 / 25731
↖ ↑ ↗
← S 71.084743°
W 83.485107°		 ← 396.02 m → S 71.084743°
W 83.474121°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
S 71.088305°
W 83.485107°		 ← 395.95 m →
156 817 m²		 S 71.088305°
W 83.474121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268112182617188 y=0.785263061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268112182617188 × 215)
    floor (0.268112182617188 × 32768)
    floor (8785.5)     		tx = 8785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785263061523438 × 215)
    floor (0.785263061523438 × 32768)
    floor (25731.5)     		ty = 25731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8785 / 25731 ti = "15/8785/25731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8785/25731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8785 ÷ 215
    8785 ÷ 32768     		x = 0.268096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25731 ÷ 215
    25731 ÷ 32768     		y = 0.785247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.46380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45709000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.57049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79226480299466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45709000} λ = -1.45709000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79226480299466))-π/2
    2×atan(0.166582465648833)-π/2
    2×0.16506675098152-π/2
    0.33013350196304-1.57079632675     		φ = -1.24066282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45709000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.485107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24066282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.084743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8785 KachelY 25731 -1.45709000 -1.24066282 -83.485107 -71.084743
    Oben rechts KachelX + 1 8786 KachelY 25731 -1.45689825 -1.24066282 -83.474121 -71.084743
    Unten links KachelX 8785 KachelY + 1 25732 -1.45709000 -1.24072498 -83.485107 -71.088305
    Unten rechts KachelX + 1 8786 KachelY + 1 25732 -1.45689825 -1.24072498 -83.474121 -71.088305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24066282--1.24072498) × R
    6.21599999999223e-05 × 6371000     		dl = 396.021359999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24066282--1.24072498) × R
    6.21599999999223e-05 × 6371000     		dr = 396.021359999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45709000--1.45689825) × cos(-1.24066282) × R
    0.000191749999999935 × 0.324169328587732 × 6371000     		do = 396.017975448787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45709000--1.45689825) × cos(-1.24072498) × R
    0.000191749999999935 × 0.32411052465911 × 6371000     		du = 395.946138261527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24066282)-sin(-1.24072498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324169328587732-0.32411052465911)×R²
    abs(-1.45689825--1.45709000)×5.88039286225084e-05×R²
    0.000191749999999935×5.88039286225084e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.88039286225084e-05×40589641000000     		ar = 156817.352741695m²