Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8785 / 11987
↖ ↑ ↗
← S 63.733909°
E 13.029785°		 ← 1 081.25 m → S 63.733909°
E 13.051758°		 →
↑
1 081.09 m
↓
↑
1 081.09 m
↓
S 63.743631°
E 13.029785°		 ← 1 080.88 m →
1 168 733 m²		 S 63.743631°
E 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536224365234375 y=0.731658935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536224365234375 × 214)
    floor (0.536224365234375 × 16384)
    floor (8785.5)     		tx = 8785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731658935546875 × 214)
    floor (0.731658935546875 × 16384)
    floor (11987.5)     		ty = 11987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8785 / 11987 ti = "14/8785/11987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8785/11987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8785 ÷ 214
    8785 ÷ 16384     		x = 0.53619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11987 ÷ 214
    11987 ÷ 16384     		y = 0.73162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53619384765625 × 2 - 1) × π
    0.0723876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22741265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.4632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4553642724649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22741265} λ = 0.22741265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4553642724649))-π/2
    2×atan(0.233315358058867)-π/2
    2×0.22921488605743-π/2
    0.458429772114859-1.57079632675     		φ = -1.11236655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22741265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11236655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.733909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8785 KachelY 11987 0.22741265 -1.11236655 13.029785 -63.733909
    Oben rechts KachelX + 1 8786 KachelY 11987 0.22779615 -1.11236655 13.051758 -63.733909
    Unten links KachelX 8785 KachelY + 1 11988 0.22741265 -1.11253624 13.029785 -63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 8786 KachelY + 1 11988 0.22779615 -1.11253624 13.051758 -63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11236655--1.11253624) × R
    0.000169690000000111 × 6371000     		dl = 1081.09499000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11236655--1.11253624) × R
    0.000169690000000111 × 6371000     		dr = 1081.09499000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22741265-0.22779615) × cos(-1.11236655) × R
    0.000383500000000009 × 0.442540557819782 × 6371000     		do = 1081.24983029911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22741265-0.22779615) × cos(-1.11253624) × R
    0.000383500000000009 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 1080.87802287369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11236655)-sin(-1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442540557819782-0.442388382197799)×R²
    abs(0.22779615-0.22741265)×0.000152175621983108×R²
    0.000383500000000009×0.000152175621983108×6371000²
    0.000383500000000009×0.000152175621983108×40589641000000     		ar = 1168732.79770655m²