Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8784 / 25842
↖ ↑ ↗
← S 71.476106°
W 83.496094°		 ← 388.11 m → S 71.476106°
W 83.485107°		 →
↑
388.06 m
↓
↑
388.06 m
↓
S 71.479596°
W 83.496094°		 ← 388.04 m →
150 597 m²		 S 71.479596°
W 83.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268081665039062 y=0.788650512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268081665039062 × 215)
    floor (0.268081665039062 × 32768)
    floor (8784.5)     		tx = 8784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788650512695312 × 215)
    floor (0.788650512695312 × 32768)
    floor (25842.5)     		ty = 25842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8784 / 25842 ti = "15/8784/25842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8784/25842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8784 ÷ 215
    8784 ÷ 32768     		x = 0.26806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25842 ÷ 215
    25842 ÷ 32768     		y = 0.78863525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45728175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78863525390625 × 2 - 1) × π
    -0.5772705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81354878642596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45728175} λ = -1.45728175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81354878642596))-π/2
    2×atan(0.163074392526211)-π/2
    2×0.161651468781479-π/2
    0.323302937562959-1.57079632675     		φ = -1.24749339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45728175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24749339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.476106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8784 KachelY 25842 -1.45728175 -1.24749339 -83.496094 -71.476106
    Oben rechts KachelX + 1 8785 KachelY 25842 -1.45709000 -1.24749339 -83.485107 -71.476106
    Unten links KachelX 8784 KachelY + 1 25843 -1.45728175 -1.24755430 -83.496094 -71.479596
    Unten rechts KachelX + 1 8785 KachelY + 1 25843 -1.45709000 -1.24755430 -83.485107 -71.479596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24749339--1.24755430) × R
    6.09099999999696e-05 × 6371000     		dl = 388.057609999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24749339--1.24755430) × R
    6.09099999999696e-05 × 6371000     		dr = 388.057609999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45728175--1.45709000) × cos(-1.24749339) × R
    0.000191749999999935 × 0.317700103641569 × 6371000     		do = 388.114916337478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45728175--1.45709000) × cos(-1.24755430) × R
    0.000191749999999935 × 0.317642348723308 × 6371000     		du = 388.044360662448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24749339)-sin(-1.24755430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317700103641569-0.317642348723308)×R²
    abs(-1.45709000--1.45728175)×5.77549182618764e-05×R²
    0.000191749999999935×5.77549182618764e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.77549182618764e-05×40589641000000     		ar = 150597.2570524m²