Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8783 / 25841
↖ ↑ ↗
← S 71.472616°
W 83.507080°		 ← 388.19 m → S 71.472616°
W 83.496094°		 →
↑
388.12 m
↓
↑
388.12 m
↓
S 71.476106°
W 83.507080°		 ← 388.11 m →
150 649 m²		 S 71.476106°
W 83.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268051147460938 y=0.788619995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268051147460938 × 215)
    floor (0.268051147460938 × 32768)
    floor (8783.5)     		tx = 8783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788619995117188 × 215)
    floor (0.788619995117188 × 32768)
    floor (25841.5)     		ty = 25841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8783 / 25841 ti = "15/8783/25841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8783/25841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8783 ÷ 215
    8783 ÷ 32768     		x = 0.268035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25841 ÷ 215
    25841 ÷ 32768     		y = 0.788604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.46392822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45747350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.57720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81335703882748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45747350} λ = -1.45747350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81335703882748))-π/2
    2×atan(0.163105664647433)-π/2
    2×0.161681930666591-π/2
    0.323363861333182-1.57079632675     		φ = -1.24743247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45747350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.507080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24743247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.472616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8783 KachelY 25841 -1.45747350 -1.24743247 -83.507080 -71.472616
    Oben rechts KachelX + 1 8784 KachelY 25841 -1.45728175 -1.24743247 -83.496094 -71.472616
    Unten links KachelX 8783 KachelY + 1 25842 -1.45747350 -1.24749339 -83.507080 -71.476106
    Unten rechts KachelX + 1 8784 KachelY + 1 25842 -1.45728175 -1.24749339 -83.496094 -71.476106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24743247--1.24749339) × R
    6.09200000001309e-05 × 6371000     		dl = 388.121320000834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24743247--1.24749339) × R
    6.09200000001309e-05 × 6371000     		dr = 388.121320000834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45747350--1.45728175) × cos(-1.24743247) × R
    0.000191750000000157 × 0.317757866862874 × 6371000     		do = 388.185482156279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45747350--1.45728175) × cos(-1.24749339) × R
    0.000191750000000157 × 0.317700103641569 × 6371000     		du = 388.114916337927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24743247)-sin(-1.24749339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317757866862874-0.317700103641569)×R²
    abs(-1.45728175--1.45747350)×5.77632213046297e-05×R²
    0.000191750000000157×5.77632213046297e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.77632213046297e-05×40589641000000     		ar = 150649.367736498m²