Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8782 / 12013
↖ ↑ ↗
← S 63.985600°
E 12.963867°		 ← 1 071.59 m → S 63.985600°
E 12.985840°		 →
↑
1 071.41 m
↓
↑
1 071.41 m
↓
S 63.995235°
E 12.963867°		 ← 1 071.22 m →
1 147 912 m²		 S 63.995235°
E 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536041259765625 y=0.733245849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536041259765625 × 214)
    floor (0.536041259765625 × 16384)
    floor (8782.5)     		tx = 8782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733245849609375 × 214)
    floor (0.733245849609375 × 16384)
    floor (12013.5)     		ty = 12013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8782 / 12013 ti = "14/8782/12013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8782/12013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8782 ÷ 214
    8782 ÷ 16384     		x = 0.5360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12013 ÷ 214
    12013 ÷ 16384     		y = 0.73321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5360107421875 × 2 - 1) × π
    0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.4664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46533514758588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22626217} λ = 0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46533514758588))-π/2
    2×atan(0.231000559222679)-π/2
    2×0.227018468989986-π/2
    0.454036937979973-1.57079632675     		φ = -1.11675939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11675939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.985600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8782 KachelY 12013 0.22626217 -1.11675939 12.963867 -63.985600
    Oben rechts KachelX + 1 8783 KachelY 12013 0.22664566 -1.11675939 12.985840 -63.985600
    Unten links KachelX 8782 KachelY + 1 12014 0.22626217 -1.11692756 12.963867 -63.995235
    Unten rechts KachelX + 1 8783 KachelY + 1 12014 0.22664566 -1.11692756 12.985840 -63.995235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11675939--1.11692756) × R
    0.000168170000000023 × 6371000     		dl = 1071.41107000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11675939--1.11692756) × R
    0.000168170000000023 × 6371000     		dr = 1071.41107000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22626217-0.22664566) × cos(-1.11675939) × R
    0.000383489999999986 × 0.438597027996165 × 6371000     		do = 1071.58674565024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22626217-0.22664566) × cos(-1.11692756) × R
    0.000383489999999986 × 0.438445890133233 × 6371000     		du = 1071.21748338819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11675939)-sin(-1.11692756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438597027996165-0.438445890133233)×R²
    abs(0.22664566-0.22626217)×0.000151137862932194×R²
    0.000383489999999986×0.000151137862932194×6371000²
    0.000383489999999986×0.000151137862932194×40589641000000     		ar = 1147912.08862294m²