Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8782 / 11998
↖ ↑ ↗
← S 63.840668°
E 12.963867°		 ← 1 077.14 m → S 63.840668°
E 12.985840°		 →
↑
1 076.95 m
↓
↑
1 076.95 m
↓
S 63.850354°
E 12.963867°		 ← 1 076.77 m →
1 159 828 m²		 S 63.850354°
E 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536041259765625 y=0.732330322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536041259765625 × 214)
    floor (0.536041259765625 × 16384)
    floor (8782.5)     		tx = 8782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732330322265625 × 214)
    floor (0.732330322265625 × 16384)
    floor (11998.5)     		ty = 11998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8782 / 11998 ti = "14/8782/11998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8782/11998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8782 ÷ 214
    8782 ÷ 16384     		x = 0.5360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11998 ÷ 214
    11998 ÷ 16384     		y = 0.7322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5360107421875 × 2 - 1) × π
    0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45958271963147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22626217} λ = 0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45958271963147))-π/2
    2×atan(0.232333202589704)-π/2
    2×0.228283232905713-π/2
    0.456566465811426-1.57079632675     		φ = -1.11422986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11422986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.840668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8782 KachelY 11998 0.22626217 -1.11422986 12.963867 -63.840668
    Oben rechts KachelX + 1 8783 KachelY 11998 0.22664566 -1.11422986 12.985840 -63.840668
    Unten links KachelX 8782 KachelY + 1 11999 0.22626217 -1.11439890 12.963867 -63.850354
    Unten rechts KachelX + 1 8783 KachelY + 1 11999 0.22664566 -1.11439890 12.985840 -63.850354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11422986--1.11439890) × R
    0.000169040000000065 × 6371000     		dl = 1076.95384000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11422986--1.11439890) × R
    0.000169040000000065 × 6371000     		dr = 1076.95384000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22626217-0.22664566) × cos(-1.11422986) × R
    0.000383489999999986 × 0.440868870123979 × 6371000     		do = 1077.13734393746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22626217-0.22664566) × cos(-1.11439890) × R
    0.000383489999999986 × 0.440717138335602 × 6371000     		du = 1076.76663058798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11422986)-sin(-1.11439890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440868870123979-0.440717138335602)×R²
    abs(0.22664566-0.22626217)×0.000151731788376741×R²
    0.000383489999999986×0.000151731788376741×6371000²
    0.000383489999999986×0.000151731788376741×40589641000000     		ar = 1159827.58094067m²