Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8781 / 12014
↖ ↑ ↗
← S 63.995235°
E 12.941894°		 ← 1 071.25 m → S 63.995235°
E 12.963867°		 →
↑
1 071.03 m
↓
↑
1 071.03 m
↓
S 64.004867°
E 12.941894°		 ← 1 070.88 m →
1 147 137 m²		 S 64.004867°
E 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535980224609375 y=0.733306884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535980224609375 × 214)
    floor (0.535980224609375 × 16384)
    floor (8781.5)     		tx = 8781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733306884765625 × 214)
    floor (0.733306884765625 × 16384)
    floor (12014.5)     		ty = 12014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8781 / 12014 ti = "14/8781/12014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8781/12014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8781 ÷ 214
    8781 ÷ 16384     		x = 0.53594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12014 ÷ 214
    12014 ÷ 16384     		y = 0.7332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53594970703125 × 2 - 1) × π
    0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.466552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46571864278284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22587867} λ = 0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46571864278284))-π/2
    2×atan(0.230911988602011)-π/2
    2×0.226934383553834-π/2
    0.453868767107667-1.57079632675     		φ = -1.11692756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11692756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.995235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8781 KachelY 12014 0.22587867 -1.11692756 12.941894 -63.995235
    Oben rechts KachelX + 1 8782 KachelY 12014 0.22626217 -1.11692756 12.963867 -63.995235
    Unten links KachelX 8781 KachelY + 1 12015 0.22587867 -1.11709567 12.941894 -64.004867
    Unten rechts KachelX + 1 8782 KachelY + 1 12015 0.22626217 -1.11709567 12.963867 -64.004867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11692756--1.11709567) × R
    0.000168110000000166 × 6371000     		dl = 1071.02881000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11692756--1.11709567) × R
    0.000168110000000166 × 6371000     		dr = 1071.02881000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22587867-0.22626217) × cos(-1.11692756) × R
    0.000383500000000009 × 0.438445890133233 × 6371000     		do = 1071.24541677592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22587867-0.22626217) × cos(-1.11709567) × R
    0.000383500000000009 × 0.438294793800425 × 6371000     		du = 1070.87624635454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11692756)-sin(-1.11709567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438445890133233-0.438294793800425)×R²
    abs(0.22626217-0.22587867)×0.000151096332808132×R²
    0.000383500000000009×0.000151096332808132×6371000²
    0.000383500000000009×0.000151096332808132×40589641000000     		ar = 1147137.01057197m²