Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 878 / 1138
↖ ↑ ↗
← N 78.188586°
W141.416016°		 ← 1 000.22 m → N 78.188586°
W141.372070°		 →
↑
1 000.63 m
↓
↑
1 000.63 m
↓
N 78.179588°
W141.416016°		 ← 1 000.97 m →
1 001 227 m²		 N 78.179588°
W141.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10723876953125 y=0.13897705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10723876953125 × 213)
    floor (0.10723876953125 × 8192)
    floor (878.5)     		tx = 878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13897705078125 × 213)
    floor (0.13897705078125 × 8192)
    floor (1138.5)     		ty = 1138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 878 / 1138 ti = "13/878/1138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/878/1138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 878 ÷ 213
    878 ÷ 8192     		x = 0.107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1138 ÷ 213
    1138 ÷ 8192     		y = 0.138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.78564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46817509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138916015625 × 2 - 1) × π
    0.72216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26875758521802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46817509} λ = -2.46817509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26875758521802))-π/2
    2×atan(9.66738245086271)-π/2
    2×1.46772229660848-π/2
    2.93544459321695-1.57079632675     		φ = 1.36464827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46817509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36464827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.188586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 878 KachelY 1138 -2.46817509 1.36464827 -141.416016 78.188586
    Oben rechts KachelX + 1 879 KachelY 1138 -2.46740810 1.36464827 -141.372070 78.188586
    Unten links KachelX 878 KachelY + 1 1139 -2.46817509 1.36449121 -141.416016 78.179588
    Unten rechts KachelX + 1 879 KachelY + 1 1139 -2.46740810 1.36449121 -141.372070 78.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36464827-1.36449121) × R
    0.000157060000000042 × 6371000     		dl = 1000.62926000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36464827-1.36449121) × R
    0.000157060000000042 × 6371000     		dr = 1000.62926000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46817509--2.46740810) × cos(1.36464827) × R
    0.000766989999999801 × 0.204691043119513 × 6371000     		do = 1000.22140872634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46817509--2.46740810) × cos(1.36449121) × R
    0.000766989999999801 × 0.204844775105168 × 6371000     		du = 1000.9726190427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36464827)-sin(1.36449121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204691043119513-0.204844775105168)×R²
    abs(-2.46740810--2.46817509)×0.000153731985655242×R²
    0.000766989999999801×0.000153731985655242×6371000²
    0.000766989999999801×0.000153731985655242×40589641000000     		ar = 1001226.65162251m²