Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8779 / 12211
↖ ↑ ↗
← S 65.829781°
E 12.897949°		 ← 1 000.40 m → S 65.829781°
E 12.919922°		 →
↑
1 000.18 m
↓
↑
1 000.18 m
↓
S 65.838776°
E 12.897949°		 ← 1 000.05 m →
1 000 406 m²		 S 65.838776°
E 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535858154296875 y=0.745330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535858154296875 × 214)
    floor (0.535858154296875 × 16384)
    floor (8779.5)     		tx = 8779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745330810546875 × 214)
    floor (0.745330810546875 × 16384)
    floor (12211.5)     		ty = 12211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8779 / 12211 ti = "14/8779/12211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8779/12211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8779 ÷ 214
    8779 ÷ 16384     		x = 0.53582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12211 ÷ 214
    12211 ÷ 16384     		y = 0.74530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53582763671875 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54126719658405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22511168} λ = 0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54126719658405))-π/2
    2×atan(0.214109610480096)-π/2
    2×0.210924954730244-π/2
    0.421849909460489-1.57079632675     		φ = -1.14894642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14894642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.829781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8779 KachelY 12211 0.22511168 -1.14894642 12.897949 -65.829781
    Oben rechts KachelX + 1 8780 KachelY 12211 0.22549518 -1.14894642 12.919922 -65.829781
    Unten links KachelX 8779 KachelY + 1 12212 0.22511168 -1.14910341 12.897949 -65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 8780 KachelY + 1 12212 0.22549518 -1.14910341 12.919922 -65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14894642--1.14910341) × R
    0.000156990000000023 × 6371000     		dl = 1000.18329000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14894642--1.14910341) × R
    0.000156990000000023 × 6371000     		dr = 1000.18329000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(-1.14894642) × R
    0.000383499999999981 × 0.40944888382162 × 6371000     		do = 1000.39765469031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(-1.14910341) × R
    0.000383499999999981 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 1000.04769850613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14894642)-sin(-1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40944888382162-0.409305651609581)×R²
    abs(0.22549518-0.22511168)×0.00014323221203949×R²
    0.000383499999999981×0.00014323221203949×6371000²
    0.000383499999999981×0.00014323221203949×40589641000000     		ar = 1000406.00946587m²