Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8779 / 12109
↖ ↑ ↗
← S 64.895589°
E 12.897949°		 ← 1 036.61 m → S 64.895589°
E 12.919922°		 →
↑
1 036.43 m
↓
↑
1 036.43 m
↓
S 64.904910°
E 12.897949°		 ← 1 036.25 m →
1 074 189 m²		 S 64.904910°
E 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535858154296875 y=0.739105224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535858154296875 × 214)
    floor (0.535858154296875 × 16384)
    floor (8779.5)     		tx = 8779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739105224609375 × 214)
    floor (0.739105224609375 × 16384)
    floor (12109.5)     		ty = 12109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8779 / 12109 ti = "14/8779/12109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8779/12109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8779 ÷ 214
    8779 ÷ 16384     		x = 0.53582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12109 ÷ 214
    12109 ÷ 16384     		y = 0.73907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53582763671875 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.4781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50215068649408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22511168} λ = 0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50215068649408))-π/2
    2×atan(0.222650792795796)-π/2
    2×0.219077311336157-π/2
    0.438154622672314-1.57079632675     		φ = -1.13264170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13264170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.895589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8779 KachelY 12109 0.22511168 -1.13264170 12.897949 -64.895589
    Oben rechts KachelX + 1 8780 KachelY 12109 0.22549518 -1.13264170 12.919922 -64.895589
    Unten links KachelX 8779 KachelY + 1 12110 0.22511168 -1.13280438 12.897949 -64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 8780 KachelY + 1 12110 0.22549518 -1.13280438 12.919922 -64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13264170--1.13280438) × R
    0.000162680000000082 × 6371000     		dl = 1036.43428000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13264170--1.13280438) × R
    0.000162680000000082 × 6371000     		dr = 1036.43428000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(-1.13264170) × R
    0.000383499999999981 × 0.424269136289629 × 6371000     		do = 1036.60765890997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(-1.13280438) × R
    0.000383499999999981 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 1036.24771943954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13264170)-sin(-1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424269136289629-0.424121818057005)×R²
    abs(0.22549518-0.22511168)×0.000147318232623983×R²
    0.000383499999999981×0.000147318232623983×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147318232623983×40589641000000     		ar = 1074189.18817176m²