Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8777 / 12097
↖ ↑ ↗
← S 64.783488°
E 12.854004°		 ← 1 040.93 m → S 64.783488°
E 12.875977°		 →
↑
1 040.77 m
↓
↑
1 040.77 m
↓
S 64.792848°
E 12.854004°		 ← 1 040.57 m →
1 083 182 m²		 S 64.792848°
E 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535736083984375 y=0.738372802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535736083984375 × 214)
    floor (0.535736083984375 × 16384)
    floor (8777.5)     		tx = 8777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738372802734375 × 214)
    floor (0.738372802734375 × 16384)
    floor (12097.5)     		ty = 12097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8777 / 12097 ti = "14/8777/12097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8777/12097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8777 ÷ 214
    8777 ÷ 16384     		x = 0.53570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12097 ÷ 214
    12097 ÷ 16384     		y = 0.73834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53570556640625 × 2 - 1) × π
    0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.4766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49754874413055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22434469} λ = 0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49754874413055))-π/2
    2×atan(0.223677780167332)-π/2
    2×0.220055578675714-π/2
    0.440111157351428-1.57079632675     		φ = -1.13068517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13068517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.783488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8777 KachelY 12097 0.22434469 -1.13068517 12.854004 -64.783488
    Oben rechts KachelX + 1 8778 KachelY 12097 0.22472819 -1.13068517 12.875977 -64.783488
    Unten links KachelX 8777 KachelY + 1 12098 0.22434469 -1.13084853 12.854004 -64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 8778 KachelY + 1 12098 0.22472819 -1.13084853 12.875977 -64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13068517--1.13084853) × R
    0.000163359999999946 × 6371000     		dl = 1040.76655999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13068517--1.13084853) × R
    0.000163359999999946 × 6371000     		dr = 1040.76655999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22434469-0.22472819) × cos(-1.13068517) × R
    0.000383499999999981 × 0.426040031729435 × 6371000     		do = 1040.93444966379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22434469-0.22472819) × cos(-1.13084853) × R
    0.000383499999999981 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 1040.5733375472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13068517)-sin(-1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426040031729435-0.425892233548999)×R²
    abs(0.22472819-0.22434469)×0.000147798180436254×R²
    0.000383499999999981×0.000147798180436254×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147798180436254×40589641000000     		ar = 1083181.85206263m²