Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8774 / 25734
↖ ↑ ↗
← S 71.095425°
W 83.605957°		 ← 395.78 m → S 71.095425°
W 83.594971°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
S 71.098984°
W 83.605957°		 ← 395.71 m →
156 623 m²		 S 71.098984°
W 83.594971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267776489257812 y=0.785354614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267776489257812 × 215)
    floor (0.267776489257812 × 32768)
    floor (8774.5)     		tx = 8774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785354614257812 × 215)
    floor (0.785354614257812 × 32768)
    floor (25734.5)     		ty = 25734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8774 / 25734 ti = "15/8774/25734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8774/25734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8774 ÷ 215
    8774 ÷ 32768     		x = 0.26776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25734 ÷ 215
    25734 ÷ 32768     		y = 0.78533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4644775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45919922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.5706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7928400457901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45919922} λ = -1.45919922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7928400457901))-π/2
    2×atan(0.166486667841763)-π/2
    2×0.164973538312484-π/2
    0.329947076624968-1.57079632675     		φ = -1.24084925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45919922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.605957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24084925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.095425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8774 KachelY 25734 -1.45919922 -1.24084925 -83.605957 -71.095425
    Oben rechts KachelX + 1 8775 KachelY 25734 -1.45900748 -1.24084925 -83.594971 -71.095425
    Unten links KachelX 8774 KachelY + 1 25735 -1.45919922 -1.24091137 -83.605957 -71.098984
    Unten rechts KachelX + 1 8775 KachelY + 1 25735 -1.45900748 -1.24091137 -83.594971 -71.098984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24084925--1.24091137) × R
    6.21200000001654e-05 × 6371000     		dl = 395.766520001054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24084925--1.24091137) × R
    6.21200000001654e-05 × 6371000     		dr = 395.766520001054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45919922--1.45900748) × cos(-1.24084925) × R
    0.000191739999999996 × 0.323992960348108 × 6371000     		do = 395.78187549343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45919922--1.45900748) × cos(-1.24091137) × R
    0.000191739999999996 × 0.3239341905074 × 6371000     		du = 395.710083693532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24084925)-sin(-1.24091137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323992960348108-0.3239341905074)×R²
    abs(-1.45900748--1.45919922)×5.87698407077952e-05×R²
    0.000191739999999996×5.87698407077952e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.87698407077952e-05×40589641000000     		ar = 156623.00919808m²