Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8773 / 25723
↖ ↑ ↗
← S 71.056231°
W 83.616943°		 ← 396.59 m → S 71.056231°
W 83.605957°		 →
↑
396.59 m
↓
↑
396.59 m
↓
S 71.059798°
W 83.616943°		 ← 396.52 m →
157 272 m²		 S 71.059798°
W 83.605957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267745971679688 y=0.785018920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267745971679688 × 215)
    floor (0.267745971679688 × 32768)
    floor (8773.5)     		tx = 8773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785018920898438 × 215)
    floor (0.785018920898438 × 32768)
    floor (25723.5)     		ty = 25723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8773 / 25723 ti = "15/8773/25723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8773/25723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8773 ÷ 215
    8773 ÷ 32768     		x = 0.267730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25723 ÷ 215
    25723 ÷ 32768     		y = 0.785003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.46453857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45939097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.57000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79073082220682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45939097} λ = -1.45939097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79073082220682))-π/2
    2×atan(0.166838196043339)-π/2
    2×0.165315566218543-π/2
    0.330631132437086-1.57079632675     		φ = -1.24016519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45939097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.616943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24016519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.056231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8773 KachelY 25723 -1.45939097 -1.24016519 -83.616943 -71.056231
    Oben rechts KachelX + 1 8774 KachelY 25723 -1.45919922 -1.24016519 -83.605957 -71.056231
    Unten links KachelX 8773 KachelY + 1 25724 -1.45939097 -1.24022744 -83.616943 -71.059798
    Unten rechts KachelX + 1 8774 KachelY + 1 25724 -1.45919922 -1.24022744 -83.605957 -71.059798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24016519--1.24022744) × R
    6.22500000000414e-05 × 6371000     		dl = 396.594750000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24016519--1.24022744) × R
    6.22500000000414e-05 × 6371000     		dr = 396.594750000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45939097--1.45919922) × cos(-1.24016519) × R
    0.000191750000000157 × 0.32464004594914 × 6371000     		do = 396.593022253598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45939097--1.45919922) × cos(-1.24022744) × R
    0.000191750000000157 × 0.32458116692711 × 6371000     		du = 396.521093329284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24016519)-sin(-1.24022744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32464004594914-0.32458116692711)×R²
    abs(-1.45919922--1.45939097)×5.88790220300561e-05×R²
    0.000191750000000157×5.88790220300561e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.88790220300561e-05×40589641000000     		ar = 157272.447246247m²