Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8772 / 4028
↖ ↑ ↗
← N 82.723748°
W131.813965°		 ← 77.37 m → N 82.723748°
W131.808472°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
N 82.723052°
W131.813965°		 ← 77.37 m →
5 984 m²		 N 82.723052°
W131.808472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133857727050781 y=0.0614700317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133857727050781 × 216)
    floor (0.133857727050781 × 65536)
    floor (8772.5)     		tx = 8772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0614700317382812 × 216)
    floor (0.0614700317382812 × 65536)
    floor (4028.5)     		ty = 4028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8772 / 4028 ti = "16/8772/4028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8772/4028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8772 ÷ 216
    8772 ÷ 65536     		x = 0.13385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4028 ÷ 216
    4028 ÷ 65536     		y = 0.06146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.7322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30058769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06146240234375 × 2 - 1) × π
    0.8770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75541299016083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30058769} λ = -2.30058769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75541299016083))-π/2
    2×atan(15.7275348788962)-π/2
    2×1.50729904777734-π/2
    3.01459809555468-1.57079632675     		φ = 1.44380177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30058769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.813965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44380177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.723748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8772 KachelY 4028 -2.30058769 1.44380177 -131.813965 82.723748
    Oben rechts KachelX + 1 8773 KachelY 4028 -2.30049181 1.44380177 -131.808472 82.723748
    Unten links KachelX 8772 KachelY + 1 4029 -2.30058769 1.44378963 -131.813965 82.723052
    Unten rechts KachelX + 1 8773 KachelY + 1 4029 -2.30049181 1.44378963 -131.808472 82.723052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44380177-1.44378963) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dl = 77.3439400010216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44380177-1.44378963) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dr = 77.3439400010216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30058769--2.30049181) × cos(1.44380177) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126653478678151 × 6371000     		do = 77.3664648976465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30058769--2.30049181) × cos(1.44378963) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126665520905677 × 6371000     		du = 77.3738209101528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44380177)-sin(1.44378963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126653478678151-0.126665520905677)×R²
    abs(-2.30049181--2.30058769)×1.20422275254051e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20422275254051e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20422275254051e-05×40589641000000     		ar = 5984.11169060354m²