Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8772 / 25726
↖ ↑ ↗
← S 71.066928°
W 83.627930°		 ← 396.38 m → S 71.066928°
W 83.616943°		 →
↑
396.34 m
↓
↑
396.34 m
↓
S 71.070493°
W 83.627930°		 ← 396.31 m →
157 086 m²		 S 71.070493°
W 83.616943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267715454101562 y=0.785110473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267715454101562 × 215)
    floor (0.267715454101562 × 32768)
    floor (8772.5)     		tx = 8772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785110473632812 × 215)
    floor (0.785110473632812 × 32768)
    floor (25726.5)     		ty = 25726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8772 / 25726 ti = "15/8772/25726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8772/25726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8772 ÷ 215
    8772 ÷ 32768     		x = 0.2677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25726 ÷ 215
    25726 ÷ 32768     		y = 0.78509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45958272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.5701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79130606500226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45958272} λ = -1.45958272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79130606500226))-π/2
    2×atan(0.166742251171505)-π/2
    2×0.165222218193492-π/2
    0.330444436386984-1.57079632675     		φ = -1.24035189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45958272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.627930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24035189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.066928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8772 KachelY 25726 -1.45958272 -1.24035189 -83.627930 -71.066928
    Oben rechts KachelX + 1 8773 KachelY 25726 -1.45939097 -1.24035189 -83.616943 -71.066928
    Unten links KachelX 8772 KachelY + 1 25727 -1.45958272 -1.24041410 -83.627930 -71.070493
    Unten rechts KachelX + 1 8773 KachelY + 1 25727 -1.45939097 -1.24041410 -83.616943 -71.070493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24035189--1.24041410) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dl = 396.339910000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24035189--1.24041410) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dr = 396.339910000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45958272--1.45939097) × cos(-1.24035189) × R
    0.000191749999999935 × 0.324463452404873 × 6371000     		do = 396.377288648166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45958272--1.45939097) × cos(-1.24041410) × R
    0.000191749999999935 × 0.324404607447958 × 6371000     		du = 396.305401339133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24035189)-sin(-1.24041410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324463452404873-0.324404607447958)×R²
    abs(-1.45939097--1.45958272)×5.88449569157712e-05×R²
    0.000191749999999935×5.88449569157712e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.88449569157712e-05×40589641000000     		ar = 157085.89305494m²