Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 877 / 1004
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W141.459961°		 ← 904.31 m → N 79.335219°
W141.416016°		 →
↑
904.68 m
↓
↑
904.68 m
↓
N 79.327083°
W141.459961°		 ← 904.99 m →
818 419 m²		 N 79.327083°
W141.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10711669921875 y=0.12261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10711669921875 × 213)
    floor (0.10711669921875 × 8192)
    floor (877.5)     		tx = 877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12261962890625 × 213)
    floor (0.12261962890625 × 8192)
    floor (1004.5)     		ty = 1004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 877 / 1004 ti = "13/877/1004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/877/1004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 877 ÷ 213
    877 ÷ 8192     		x = 0.1070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1004 ÷ 213
    1004 ÷ 8192     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46894208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46894208} λ = -2.46894208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46894208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 877 KachelY 1004 -2.46894208 1.38466079 -141.459961 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 878 KachelY 1004 -2.46817509 1.38466079 -141.416016 79.335219
    Unten links KachelX 877 KachelY + 1 1005 -2.46894208 1.38451879 -141.459961 79.327083
    Unten rechts KachelX + 1 878 KachelY + 1 1005 -2.46817509 1.38451879 -141.416016 79.327083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38451879) × R
    0.000142000000000087 × 6371000     		dl = 904.682000000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38451879) × R
    0.000142000000000087 × 6371000     		dr = 904.682000000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46894208--2.46817509) × cos(1.38466079) × R
    0.000766990000000245 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 904.307030838182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46894208--2.46817509) × cos(1.38451879) × R
    0.000766990000000245 × 0.185202120304105 × 6371000     		du = 904.988918160072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38451879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185202120304105)×R²
    abs(-2.46817509--2.46894208)×0.00013954533065369×R²
    0.000766990000000245×0.00013954533065369×6371000²
    0.000766990000000245×0.00013954533065369×40589641000000     		ar = 818418.740239279m²