Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8769 / 4032
↖ ↑ ↗
← N 82.720964°
W131.830444°		 ← 77.40 m → N 82.720964°
W131.824951°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
N 82.720268°
W131.830444°		 ← 77.40 m →
5 991 m²		 N 82.720268°
W131.824951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133811950683594 y=0.0615310668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133811950683594 × 216)
    floor (0.133811950683594 × 65536)
    floor (8769.5)     		tx = 8769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0615310668945312 × 216)
    floor (0.0615310668945312 × 65536)
    floor (4032.5)     		ty = 4032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8769 / 4032 ti = "16/8769/4032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8769/4032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8769 ÷ 216
    8769 ÷ 65536     		x = 0.133804321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4032 ÷ 216
    4032 ÷ 65536     		y = 0.0615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133804321289062 × 2 - 1) × π
    -0.732391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30087531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615234375 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30087531} λ = -2.30087531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75502949496387))-π/2
    2×atan(15.7215046011753)-π/2
    2×1.50727475765697-π/2
    3.01454951531393-1.57079632675     		φ = 1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30087531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.830444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8769 KachelY 4032 -2.30087531 1.44375319 -131.830444 82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 8770 KachelY 4032 -2.30077943 1.44375319 -131.824951 82.720964
    Unten links KachelX 8769 KachelY + 1 4033 -2.30087531 1.44374104 -131.830444 82.720268
    Unten rechts KachelX + 1 8770 KachelY + 1 4033 -2.30077943 1.44374104 -131.824951 82.720268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44375319-1.44374104) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dl = 77.4076500006344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44375319-1.44374104) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dr = 77.4076500006344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30087531--2.30077943) × cos(1.44375319) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 77.3959009978184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30087531--2.30077943) × cos(1.44374104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126713719387261 × 6371000     		du = 77.4032630239622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44375319)-sin(1.44374104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126713719387261)×R²
    abs(-2.30077943--2.30087531)×1.20520722055595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20520722055595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20520722055595e-05×40589641000000     		ar = 5991.31975460153m²