Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8769 / 25759
↖ ↑ ↗
← S 71.184211°
W 83.660889°		 ← 394.01 m → S 71.184211°
W 83.649902°		 →
↑
393.98 m
↓
↑
393.98 m
↓
S 71.187754°
W 83.660889°		 ← 393.94 m →
155 219 m²		 S 71.187754°
W 83.649902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267623901367188 y=0.786117553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267623901367188 × 215)
    floor (0.267623901367188 × 32768)
    floor (8769.5)     		tx = 8769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786117553710938 × 215)
    floor (0.786117553710938 × 32768)
    floor (25759.5)     		ty = 25759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8769 / 25759 ti = "15/8769/25759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8769/25759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8769 ÷ 215
    8769 ÷ 32768     		x = 0.267608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25759 ÷ 215
    25759 ÷ 32768     		y = 0.786102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.46478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46015796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786102294921875 × 2 - 1) × π
    -0.57220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79763373575211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46015796} λ = -1.46015796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79763373575211))-π/2
    2×atan(0.165690492207535)-π/2
    2×0.164198735960314-π/2
    0.328397471920627-1.57079632675     		φ = -1.24239885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46015796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.660889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24239885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.184211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8769 KachelY 25759 -1.46015796 -1.24239885 -83.660889 -71.184211
    Oben rechts KachelX + 1 8770 KachelY 25759 -1.45996621 -1.24239885 -83.649902 -71.184211
    Unten links KachelX 8769 KachelY + 1 25760 -1.46015796 -1.24246069 -83.660889 -71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 8770 KachelY + 1 25760 -1.45996621 -1.24246069 -83.649902 -71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24239885--1.24246069) × R
    6.18399999998687e-05 × 6371000     		dl = 393.982639999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24239885--1.24246069) × R
    6.18399999998687e-05 × 6371000     		dr = 393.982639999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46015796--1.45996621) × cos(-1.24239885) × R
    0.000191750000000157 × 0.322526558151023 × 6371000     		do = 394.01110260502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46015796--1.45996621) × cos(-1.24246069) × R
    0.000191750000000157 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 393.939592836497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24239885)-sin(-1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322526558151023-0.322468022238295)×R²
    abs(-1.45996621--1.46015796)×5.85359127282525e-05×R²
    0.000191750000000157×5.85359127282525e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.85359127282525e-05×40589641000000     		ar = 155219.447639774m²