Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8768 / 4034
↖ ↑ ↗
← N 82.719572°
W131.835937°		 ← 77.40 m → N 82.719572°
W131.830444°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
N 82.718876°
W131.835937°		 ← 77.41 m →
5 992 m²		 N 82.718876°
W131.830444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133796691894531 y=0.0615615844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133796691894531 × 216)
    floor (0.133796691894531 × 65536)
    floor (8768.5)     		tx = 8768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0615615844726562 × 216)
    floor (0.0615615844726562 × 65536)
    floor (4034.5)     		ty = 4034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8768 / 4034 ti = "16/8768/4034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8768/4034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8768 ÷ 216
    8768 ÷ 65536     		x = 0.1337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4034 ÷ 216
    4034 ÷ 65536     		y = 0.061553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    -0.732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30097118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061553955078125 × 2 - 1) × π
    0.87689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.75483774736539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30097118} λ = -2.30097118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75483774736539))-π/2
    2×atan(15.7184903294225)-π/2
    2×1.50726260913131-π/2
    3.01452521826262-1.57079632675     		φ = 1.44372889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30097118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.835937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44372889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.719572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8768 KachelY 4034 -2.30097118 1.44372889 -131.835937 82.719572
    Oben rechts KachelX + 1 8769 KachelY 4034 -2.30087531 1.44372889 -131.830444 82.719572
    Unten links KachelX 8768 KachelY + 1 4035 -2.30097118 1.44371674 -131.835937 82.718876
    Unten rechts KachelX + 1 8769 KachelY + 1 4035 -2.30087531 1.44371674 -131.830444 82.718876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44372889-1.44371674) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dl = 77.4076500006344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44372889-1.44371674) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dr = 77.4076500006344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30097118--2.30087531) × cos(1.44372889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12672577144076 × 6371000     		do = 77.40255133983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30097118--2.30087531) × cos(1.44371674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126737823475553 × 6371000     		du = 77.4099125752847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44372889)-sin(1.44371674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12672577144076-0.126737823475553)×R²
    abs(-2.30087531--2.30097118)×1.20520347921815e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20520347921815e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20520347921815e-05×40589641000000     		ar = 5991.83451112561m²