Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8767 / 25849
↖ ↑ ↗
← S 71.500523°
W 83.682861°		 ← 387.62 m → S 71.500523°
W 83.671875°		 →
↑
387.55 m
↓
↑
387.55 m
↓
S 71.504009°
W 83.682861°		 ← 387.55 m →
150 208 m²		 S 71.504009°
W 83.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267562866210938 y=0.788864135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267562866210938 × 215)
    floor (0.267562866210938 × 32768)
    floor (8767.5)     		tx = 8767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788864135742188 × 215)
    floor (0.788864135742188 × 32768)
    floor (25849.5)     		ty = 25849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8767 / 25849 ti = "15/8767/25849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8767/25849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8767 ÷ 215
    8767 ÷ 32768     		x = 0.267547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25849 ÷ 215
    25849 ÷ 32768     		y = 0.788848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.46490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46054146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.57769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81489101961533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46054146} λ = -1.46054146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81489101961533))-π/2
    2×atan(0.162855655495118)-π/2
    2×0.161438390596161-π/2
    0.322876781192321-1.57079632675     		φ = -1.24791955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46054146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24791955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.500523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8767 KachelY 25849 -1.46054146 -1.24791955 -83.682861 -71.500523
    Oben rechts KachelX + 1 8768 KachelY 25849 -1.46034971 -1.24791955 -83.671875 -71.500523
    Unten links KachelX 8767 KachelY + 1 25850 -1.46054146 -1.24798038 -83.682861 -71.504009
    Unten rechts KachelX + 1 8768 KachelY + 1 25850 -1.46034971 -1.24798038 -83.671875 -71.504009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24791955--1.24798038) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dl = 387.547930000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24791955--1.24798038) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dr = 387.547930000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46054146--1.46034971) × cos(-1.24791955) × R
    0.000191749999999935 × 0.317295993622117 × 6371000     		do = 387.621239676396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46054146--1.46034971) × cos(-1.24798038) × R
    0.000191749999999935 × 0.317238306330848 × 6371000     		du = 387.550766617156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24791955)-sin(-1.24798038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317295993622117-0.317238306330848)×R²
    abs(-1.46034971--1.46054146)×5.76872912687598e-05×R²
    0.000191749999999935×5.76872912687598e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.76872912687598e-05×40589641000000     		ar = 150208.153262407m²