Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8766 / 25846
↖ ↑ ↗
← S 71.490062°
W 83.693848°		 ← 387.83 m → S 71.490062°
W 83.682861°		 →
↑
387.80 m
↓
↑
387.80 m
↓
S 71.493550°
W 83.693848°		 ← 387.76 m →
150 389 m²		 S 71.493550°
W 83.682861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267532348632812 y=0.788772583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267532348632812 × 215)
    floor (0.267532348632812 × 32768)
    floor (8766.5)     		tx = 8766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788772583007812 × 215)
    floor (0.788772583007812 × 32768)
    floor (25846.5)     		ty = 25846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8766 / 25846 ti = "15/8766/25846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8766/25846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8766 ÷ 215
    8766 ÷ 32768     		x = 0.26751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25846 ÷ 215
    25846 ÷ 32768     		y = 0.78875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.4649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46073321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.5775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81431577681989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46073321} λ = -1.46073321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81431577681989))-π/2
    2×atan(0.162949363987622)-π/2
    2×0.161529676610849-π/2
    0.323059353221698-1.57079632675     		φ = -1.24773697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46073321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.693848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24773697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.490062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8766 KachelY 25846 -1.46073321 -1.24773697 -83.693848 -71.490062
    Oben rechts KachelX + 1 8767 KachelY 25846 -1.46054146 -1.24773697 -83.682861 -71.490062
    Unten links KachelX 8766 KachelY + 1 25847 -1.46073321 -1.24779784 -83.693848 -71.493550
    Unten rechts KachelX + 1 8767 KachelY + 1 25847 -1.46054146 -1.24779784 -83.682861 -71.493550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24773697--1.24779784) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dl = 387.80276999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24773697--1.24779784) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dr = 387.80276999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46073321--1.46054146) × cos(-1.24773697) × R
    0.000191749999999935 × 0.317469133794724 × 6371000     		do = 387.832754507005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46073321--1.46054146) × cos(-1.24779784) × R
    0.000191749999999935 × 0.317411412096577 × 6371000     		du = 387.762239414972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24773697)-sin(-1.24779784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317469133794724-0.317411412096577)×R²
    abs(-1.46054146--1.46073321)×5.77216981468287e-05×R²
    0.000191749999999935×5.77216981468287e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.77216981468287e-05×40589641000000     		ar = 150388.943566971m²