Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8762 / 25767
↖ ↑ ↗
← S 71.212538°
W 83.737793°		 ← 393.44 m → S 71.212538°
W 83.726807°		 →
↑
393.35 m
↓
↑
393.35 m
↓
S 71.216075°
W 83.737793°		 ← 393.37 m →
154 744 m²		 S 71.216075°
W 83.726807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267410278320312 y=0.786361694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267410278320312 × 215)
    floor (0.267410278320312 × 32768)
    floor (8762.5)     		tx = 8762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786361694335938 × 215)
    floor (0.786361694335938 × 32768)
    floor (25767.5)     		ty = 25767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8762 / 25767 ti = "15/8762/25767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8762/25767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8762 ÷ 215
    8762 ÷ 32768     		x = 0.26739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25767 ÷ 215
    25767 ÷ 32768     		y = 0.786346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.4652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46150020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.57269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79916771653995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46150020} λ = -1.46150020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79916771653995))-π/2
    2×atan(0.165436521019024)-π/2
    2×0.163951540709909-π/2
    0.327903081419817-1.57079632675     		φ = -1.24289325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46150020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.737793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24289325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8762 KachelY 25767 -1.46150020 -1.24289325 -83.737793 -71.212538
    Oben rechts KachelX + 1 8763 KachelY 25767 -1.46130845 -1.24289325 -83.726807 -71.212538
    Unten links KachelX 8762 KachelY + 1 25768 -1.46150020 -1.24295499 -83.737793 -71.216075
    Unten rechts KachelX + 1 8763 KachelY + 1 25768 -1.46130845 -1.24295499 -83.726807 -71.216075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24289325--1.24295499) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dl = 393.345540000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24289325--1.24295499) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dr = 393.345540000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46150020--1.46130845) × cos(-1.24289325) × R
    0.000191749999999935 × 0.322058539283099 × 6371000     		do = 393.439352385768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46150020--1.46130845) × cos(-1.24295499) × R
    0.000191749999999935 × 0.322000088191557 × 6371000     		du = 393.367946238134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24289325)-sin(-1.24295499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322058539283099-0.322000088191557)×R²
    abs(-1.46130845--1.46150020)×5.84510915426772e-05×R²
    0.000191749999999935×5.84510915426772e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.84510915426772e-05×40589641000000     		ar = 154743.570926046m²