Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 876 / 676
↖ ↑ ↗
← N 52.052490°
W 26.015625°		 ← 12.020 km → N 52.052490°
W 25.839844°		 →
↑
12.034 km
↓
↑
12.034 km
↓
N 51.944265°
W 26.015625°		 ← 12.049 km →
144.820 km²		 N 51.944265°
W 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427978515625 y=0.330322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427978515625 × 211)
    floor (0.427978515625 × 2048)
    floor (876.5)     		tx = 876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330322265625 × 211)
    floor (0.330322265625 × 2048)
    floor (676.5)     		ty = 676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 876 / 676 ti = "11/876/676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/876/676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 876 ÷ 211
    876 ÷ 2048     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 676 ÷ 211
    676 ÷ 2048     		y = 0.330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330078125 × 2 - 1) × π
    0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06765062833789))-π/2
    2×atan(2.90853822948569)-π/2
    2×1.23964183472267-π/2
    2.47928366944534-1.57079632675     		φ = 0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 876 KachelY 676 -0.45405831 0.90848734 -26.015625 52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 877 KachelY 676 -0.45099035 0.90848734 -25.839844 52.052490
    Unten links KachelX 876 KachelY + 1 677 -0.45405831 0.90659845 -26.015625 51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 877 KachelY + 1 677 -0.45099035 0.90659845 -25.839844 51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90848734-0.90659845) × R
    0.00188889000000003 × 6371000     		dl = 12034.1181900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90848734-0.90659845) × R
    0.00188889000000003 × 6371000     		dr = 12034.1181900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45099035) × cos(0.90848734) × R
    0.00306796000000004 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 12019.5870057666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45099035) × cos(0.90659845) × R
    0.00306796000000004 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 12048.6798670969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90848734)-sin(0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.616427730073519)×R²
    abs(-0.45099035--0.45405831)×0.0014884324813137×R²
    0.00306796000000004×0.0014884324813137×6371000²
    0.00306796000000004×0.0014884324813137×40589641000000     		ar = 144820227.146995m²