Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8758 / 25735
↖ ↑ ↗
← S 71.098984°
W 83.781739°		 ← 395.73 m → S 71.098984°
W 83.770752°		 →
↑
395.70 m
↓
↑
395.70 m
↓
S 71.102543°
W 83.781739°		 ← 395.66 m →
156 578 m²		 S 71.102543°
W 83.770752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267288208007812 y=0.785385131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267288208007812 × 215)
    floor (0.267288208007812 × 32768)
    floor (8758.5)     		tx = 8758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785385131835938 × 215)
    floor (0.785385131835938 × 32768)
    floor (25735.5)     		ty = 25735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8758 / 25735 ti = "15/8758/25735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8758/25735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8758 ÷ 215
    8758 ÷ 32768     		x = 0.26727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25735 ÷ 215
    25735 ÷ 32768     		y = 0.785369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46226719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.57073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79303179338858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46226719} λ = -1.46226719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79303179338858))-π/2
    2×atan(0.166454747483449)-π/2
    2×0.164942478693748-π/2
    0.329884957387497-1.57079632675     		φ = -1.24091137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46226719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.781739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24091137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.098984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8758 KachelY 25735 -1.46226719 -1.24091137 -83.781739 -71.098984
    Oben rechts KachelX + 1 8759 KachelY 25735 -1.46207544 -1.24091137 -83.770752 -71.098984
    Unten links KachelX 8758 KachelY + 1 25736 -1.46226719 -1.24097348 -83.781739 -71.102543
    Unten rechts KachelX + 1 8759 KachelY + 1 25736 -1.46207544 -1.24097348 -83.770752 -71.102543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24091137--1.24097348) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dl = 395.702810000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24091137--1.24097348) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dr = 395.702810000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46226719--1.46207544) × cos(-1.24091137) × R
    0.000191749999999935 × 0.3239341905074 × 6371000     		do = 395.730721540684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46226719--1.46207544) × cos(-1.24097348) × R
    0.000191749999999935 × 0.323875428877662 × 6371000     		du = 395.658936027402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24091137)-sin(-1.24097348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3239341905074-0.323875428877662)×R²
    abs(-1.46207544--1.46226719)×5.87616297381133e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87616297381133e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87616297381133e-05×40589641000000     		ar = 156577.555703498m²