Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8755 / 7663
↖ ↑ ↗
← N 79.703888°
W131.907349°		 ← 109.17 m → N 79.703888°
W131.901856°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
N 79.702906°
W131.907349°		 ← 109.18 m →
11 922 m²		 N 79.702906°
W131.901856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133598327636719 y=0.116935729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133598327636719 × 216)
    floor (0.133598327636719 × 65536)
    floor (8755.5)     		tx = 8755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116935729980469 × 216)
    floor (0.116935729980469 × 65536)
    floor (7663.5)     		ty = 7663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8755 / 7663 ti = "16/8755/7663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8755/7663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8755 ÷ 216
    8755 ÷ 65536     		x = 0.133590698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7663 ÷ 216
    7663 ÷ 65536     		y = 0.116928100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133590698242188 × 2 - 1) × π
    -0.732818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30221754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116928100585938 × 2 - 1) × π
    0.766143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40691172992302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30221754} λ = -2.30221754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40691172992302))-π/2
    2×atan(11.0996295059958)-π/2
    2×1.48094580419816-π/2
    2.96189160839631-1.57079632675     		φ = 1.39109528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30221754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.907349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39109528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.703888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8755 KachelY 7663 -2.30221754 1.39109528 -131.907349 79.703888
    Oben rechts KachelX + 1 8756 KachelY 7663 -2.30212167 1.39109528 -131.901856 79.703888
    Unten links KachelX 8755 KachelY + 1 7664 -2.30221754 1.39107814 -131.907349 79.702906
    Unten rechts KachelX + 1 8756 KachelY + 1 7664 -2.30212167 1.39107814 -131.901856 79.702906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39109528-1.39107814) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39109528-1.39107814) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30221754--2.30212167) × cos(1.39109528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178735442204719 × 6371000     		do = 109.169422164182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30221754--2.30212167) × cos(1.39107814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178752306175962 × 6371000     		du = 109.179722471571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39109528)-sin(1.39107814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178735442204719-0.178752306175962)×R²
    abs(-2.30212167--2.30221754)×1.68639712434804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68639712434804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68639712434804e-05×40589641000000     		ar = 11921.7475727565m²