Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8755 / 7655
↖ ↑ ↗
← N 79.711740°
W131.907349°		 ← 109.09 m → N 79.711740°
W131.901856°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 79.710759°
W131.907349°		 ← 109.10 m →
11 906 m²		 N 79.710759°
W131.901856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133598327636719 y=0.116813659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133598327636719 × 216)
    floor (0.133598327636719 × 65536)
    floor (8755.5)     		tx = 8755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116813659667969 × 216)
    floor (0.116813659667969 × 65536)
    floor (7655.5)     		ty = 7655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8755 / 7655 ti = "16/8755/7655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8755/7655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8755 ÷ 216
    8755 ÷ 65536     		x = 0.133590698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7655 ÷ 216
    7655 ÷ 65536     		y = 0.116806030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133590698242188 × 2 - 1) × π
    -0.732818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30221754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116806030273438 × 2 - 1) × π
    0.766387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40767872031694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30221754} λ = -2.30221754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40767872031694))-π/2
    2×atan(11.108146080851)-π/2
    2×1.48101432252437-π/2
    2.96202864504875-1.57079632675     		φ = 1.39123232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30221754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.907349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39123232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.711740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8755 KachelY 7655 -2.30221754 1.39123232 -131.907349 79.711740
    Oben rechts KachelX + 1 8756 KachelY 7655 -2.30212167 1.39123232 -131.901856 79.711740
    Unten links KachelX 8755 KachelY + 1 7656 -2.30221754 1.39121519 -131.907349 79.710759
    Unten rechts KachelX + 1 8756 KachelY + 1 7656 -2.30212167 1.39121519 -131.901856 79.710759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39123232-1.39121519) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39123232-1.39121519) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30221754--2.30212167) × cos(1.39123232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178600607258602 × 6371000     		do = 109.087066628125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30221754--2.30212167) × cos(1.39121519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178617461810347 × 6371000     		du = 109.0973611822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39123232)-sin(1.39121519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178600607258602-0.178617461810347)×R²
    abs(-2.30212167--2.30221754)×1.68545517445773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68545517445773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68545517445773e-05×40589641000000     		ar = 11905.803855797m²