Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8755 / 11980
↖ ↑ ↗
← S 63.665760°
E 12.370606°		 ← 1 083.83 m → S 63.665760°
E 12.392578°		 →
↑
1 083.64 m
↓
↑
1 083.64 m
↓
S 63.675506°
E 12.370606°		 ← 1 083.45 m →
1 174 280 m²		 S 63.675506°
E 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534393310546875 y=0.731231689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534393310546875 × 214)
    floor (0.534393310546875 × 16384)
    floor (8755.5)     		tx = 8755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731231689453125 × 214)
    floor (0.731231689453125 × 16384)
    floor (11980.5)     		ty = 11980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8755 / 11980 ti = "14/8755/11980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8755/11980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8755 ÷ 214
    8755 ÷ 16384     		x = 0.53436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11980 ÷ 214
    11980 ÷ 16384     		y = 0.731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53436279296875 × 2 - 1) × π
    0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45267980608618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21590780} λ = 0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45267980608618))-π/2
    2×atan(0.233942526723179)-π/2
    2×0.229809594066645-π/2
    0.459619188133291-1.57079632675     		φ = -1.11117714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11117714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.665760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8755 KachelY 11980 0.21590780 -1.11117714 12.370606 -63.665760
    Oben rechts KachelX + 1 8756 KachelY 11980 0.21629129 -1.11117714 12.392578 -63.665760
    Unten links KachelX 8755 KachelY + 1 11981 0.21590780 -1.11134723 12.370606 -63.675506
    Unten rechts KachelX + 1 8756 KachelY + 1 11981 0.21629129 -1.11134723 12.392578 -63.675506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11117714--1.11134723) × R
    0.000170090000000123 × 6371000     		dl = 1083.64339000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11117714--1.11134723) × R
    0.000170090000000123 × 6371000     		dr = 1083.64339000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21590780-0.21629129) × cos(-1.11117714) × R
    0.000383489999999986 × 0.443606846159856 × 6371000     		do = 1083.82680748298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21590780-0.21629129) × cos(-1.11134723) × R
    0.000383489999999986 × 0.443454401429794 × 6371000     		du = 1083.45435226383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11117714)-sin(-1.11134723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443606846159856-0.443454401429794)×R²
    abs(0.21629129-0.21590780)×0.00015244473006204×R²
    0.000383489999999986×0.00015244473006204×6371000²
    0.000383489999999986×0.00015244473006204×40589641000000     		ar = 1174279.9543475m²