Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8754 / 7656
↖ ↑ ↗
← N 79.710759°
W131.912842°		 ← 109.10 m → N 79.710759°
W131.907349°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
N 79.709778°
W131.912842°		 ← 109.11 m →
11 900 m²		 N 79.709778°
W131.907349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133583068847656 y=0.116828918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133583068847656 × 216)
    floor (0.133583068847656 × 65536)
    floor (8754.5)     		tx = 8754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116828918457031 × 216)
    floor (0.116828918457031 × 65536)
    floor (7656.5)     		ty = 7656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8754 / 7656 ti = "16/8754/7656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8754/7656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8754 ÷ 216
    8754 ÷ 65536     		x = 0.133575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7656 ÷ 216
    7656 ÷ 65536     		y = 0.1168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.73284912109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30231341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30231341} λ = -2.30231341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4075828465177))-π/2
    2×atan(11.1070811517339)-π/2
    2×1.48100576056108-π/2
    2.96201152112216-1.57079632675     		φ = 1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30231341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.912842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8754 KachelY 7656 -2.30231341 1.39121519 -131.912842 79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 8755 KachelY 7656 -2.30221754 1.39121519 -131.907349 79.710759
    Unten links KachelX 8754 KachelY + 1 7657 -2.30231341 1.39119807 -131.912842 79.709778
    Unten rechts KachelX + 1 8755 KachelY + 1 7657 -2.30221754 1.39119807 -131.907349 79.709778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39121519-1.39119807) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39121519-1.39119807) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30231341--2.30221754) × cos(1.39121519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 109.0973611822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30231341--2.30221754) × cos(1.39119807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178634306470523 × 6371000     		du = 109.107649694625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39121519)-sin(1.39119807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178634306470523)×R²
    abs(-2.30221754--2.30231341)×1.68446601762906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68446601762906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68446601762906e-05×40589641000000     		ar = 11899.9761042857m²