Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8753 / 25838
↖ ↑ ↗
← S 71.462140°
W 83.836670°		 ← 388.38 m → S 71.462140°
W 83.825684°		 →
↑
388.31 m
↓
↑
388.31 m
↓
S 71.465632°
W 83.836670°		 ← 388.31 m →
150 798 m²		 S 71.465632°
W 83.825684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267135620117188 y=0.788528442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267135620117188 × 215)
    floor (0.267135620117188 × 32768)
    floor (8753.5)     		tx = 8753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788528442382812 × 215)
    floor (0.788528442382812 × 32768)
    floor (25838.5)     		ty = 25838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8753 / 25838 ti = "15/8753/25838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8753/25838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8753 ÷ 215
    8753 ÷ 32768     		x = 0.267120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25838 ÷ 215
    25838 ÷ 32768     		y = 0.78851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.46575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46322592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81278179603204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46322592} λ = -1.46322592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81278179603204))-π/2
    2×atan(0.163199516997273)-π/2
    2×0.161773349558116-π/2
    0.323546699116233-1.57079632675     		φ = -1.24724963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46322592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.836670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24724963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.462140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8753 KachelY 25838 -1.46322592 -1.24724963 -83.836670 -71.462140
    Oben rechts KachelX + 1 8754 KachelY 25838 -1.46303418 -1.24724963 -83.825684 -71.462140
    Unten links KachelX 8753 KachelY + 1 25839 -1.46322592 -1.24731058 -83.836670 -71.465632
    Unten rechts KachelX + 1 8754 KachelY + 1 25839 -1.46303418 -1.24731058 -83.825684 -71.465632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24724963--1.24731058) × R
    6.09499999999485e-05 × 6371000     		dl = 388.312449999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24724963--1.24731058) × R
    6.09499999999485e-05 × 6371000     		dr = 388.312449999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46322592--1.46303418) × cos(-1.24724963) × R
    0.000191739999999996 × 0.317931225299367 × 6371000     		do = 388.377008227927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46322592--1.46303418) × cos(-1.24731058) × R
    0.000191739999999996 × 0.317873437174094 × 6371000     		du = 388.306415667591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24724963)-sin(-1.24731058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317931225299367-0.317873437174094)×R²
    abs(-1.46303418--1.46322592)×5.77881252732948e-05×R²
    0.000191739999999996×5.77881252732948e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.77881252732948e-05×40589641000000     		ar = 150797.921650546m²