Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8751 / 25749
↖ ↑ ↗
← S 71.148745°
W 83.858643°		 ← 394.73 m → S 71.148745°
W 83.847656°		 →
↑
394.68 m
↓
↑
394.68 m
↓
S 71.152295°
W 83.858643°		 ← 394.66 m →
155 778 m²		 S 71.152295°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267074584960938 y=0.785812377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267074584960938 × 215)
    floor (0.267074584960938 × 32768)
    floor (8751.5)     		tx = 8751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785812377929688 × 215)
    floor (0.785812377929688 × 32768)
    floor (25749.5)     		ty = 25749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8751 / 25749 ti = "15/8751/25749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8751/25749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8751 ÷ 215
    8751 ÷ 32768     		x = 0.267059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25749 ÷ 215
    25749 ÷ 32768     		y = 0.785797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.57159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7957162597673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46360942} λ = -1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7957162597673))-π/2
    2×atan(0.166008504540322)-π/2
    2×0.164508235187658-π/2
    0.329016470375316-1.57079632675     		φ = -1.24177986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24177986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.148745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8751 KachelY 25749 -1.46360942 -1.24177986 -83.858643 -71.148745
    Oben rechts KachelX + 1 8752 KachelY 25749 -1.46341767 -1.24177986 -83.847656 -71.148745
    Unten links KachelX 8751 KachelY + 1 25750 -1.46360942 -1.24184181 -83.858643 -71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 8752 KachelY + 1 25750 -1.46341767 -1.24184181 -83.847656 -71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24177986--1.24184181) × R
    6.19499999998663e-05 × 6371000     		dl = 394.683449999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24177986--1.24184181) × R
    6.19499999998663e-05 × 6371000     		dr = 394.683449999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46360942--1.46341767) × cos(-1.24177986) × R
    0.000191750000000157 × 0.323112407757102 × 6371000     		do = 394.726799478404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46360942--1.46341767) × cos(-1.24184181) × R
    0.000191750000000157 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 394.655177629377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24177986)-sin(-1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323112407757102-0.323053780098383)×R²
    abs(-1.46341767--1.46360942)×5.8627658718502e-05×R²
    0.000191750000000157×5.8627658718502e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.8627658718502e-05×40589641000000     		ar = 155778.001096243m²