Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8751 / 25743
↖ ↑ ↗
← S 71.127434°
W 83.858643°		 ← 395.16 m → S 71.127434°
W 83.847656°		 →
↑
395.13 m
↓
↑
395.13 m
↓
S 71.130988°
W 83.858643°		 ← 395.09 m →
156 124 m²		 S 71.130988°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267074584960938 y=0.785629272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267074584960938 × 215)
    floor (0.267074584960938 × 32768)
    floor (8751.5)     		tx = 8751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785629272460938 × 215)
    floor (0.785629272460938 × 32768)
    floor (25743.5)     		ty = 25743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8751 / 25743 ti = "15/8751/25743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8751/25743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8751 ÷ 215
    8751 ÷ 32768     		x = 0.267059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25743 ÷ 215
    25743 ÷ 32768     		y = 0.785614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.57122802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79456577417642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46360942} λ = -1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79456577417642))-π/2
    2×atan(0.166199604840752)-π/2
    2×0.164694204490923-π/2
    0.329388408981847-1.57079632675     		φ = -1.24140792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24140792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.127434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8751 KachelY 25743 -1.46360942 -1.24140792 -83.858643 -71.127434
    Oben rechts KachelX + 1 8752 KachelY 25743 -1.46341767 -1.24140792 -83.847656 -71.127434
    Unten links KachelX 8751 KachelY + 1 25744 -1.46360942 -1.24146994 -83.858643 -71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 8752 KachelY + 1 25744 -1.46341767 -1.24146994 -83.847656 -71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24140792--1.24146994) × R
    6.20199999998849e-05 × 6371000     		dl = 395.129419999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24140792--1.24146994) × R
    6.20199999998849e-05 × 6371000     		dr = 395.129419999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46360942--1.46341767) × cos(-1.24140792) × R
    0.000191750000000157 × 0.323464374758359 × 6371000     		do = 395.156776181844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46360942--1.46341767) × cos(-1.24146994) × R
    0.000191750000000157 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 395.085082512897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24140792)-sin(-1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323464374758359-0.323405688309846)×R²
    abs(-1.46341767--1.46360942)×5.86864485130345e-05×R²
    0.000191750000000157×5.86864485130345e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.86864485130345e-05×40589641000000     		ar = 156123.90369305m²